二次根式
一般形如√ā（a≥0）的代数式叫做二次根式。当a≥0时，表示a的算术平方根；当a小于0时，非二次根式（在一元二次方程中，若根号下为负数，则无实数根）被开方数必须大于等于0。
- 中文名 二次根式
- 外文名 quadratic radical
- 形式 √a（a≥0）
- 领 域 初等代数
基本介绍
1、如果一个数的平方等于这个数，那么这个数叫做a的平方根，且a≥0。
二次根式的运算中用上的公式大致如图 2、正数a的正的平方根和零的平方根统称为算术平方根，用√ā(a≥0)来表示。
二次根式的定义和概念：
3、定义：一般形如√ā（a≥0）的代数式叫做二次根式。当a≥0时，表示a的算术平方 根；当a小于0时，非二次根式（在一元二次方程中，若根号下为负数，则无实数 根）被开方数必须大于等于0。
4、概念：式子√ā（a≥0）叫二次根式。√ā（a≥0）是一个非负数。其中，a叫做被开方数。
√a的性质
1）a≥0 ; √a≥0 [ 双重非负性 ]
2）（√a）²=a （a≥0）[任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式]
√(a²=|a|
3) c=√（a²+b²）表示直角三角形内，斜边等于两直角边的平方和的根号，即勾股定理推论。
√a.√b=√ab
化最简二次根式
如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√2、√3、√6、√7、√a（a≥0）、√x+y 等
含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√4、√9、√16、√25、√a²、√（x+y）²、√x²+2xy+y²等
最简二次根式同时满足下列三个条件：
（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；
（2）被开方数中不含有能开的尽的因式；
（3）被开方数不含分母。
二次根式化简一般步骤：
1.把带分数或小数化成假分数；
2.把开方数分解成质因数或分解因式；
3.把根号内能开得尽方的因式或因数移到根号外；
4.化去根号内的分母，或化去分母中的根号；
5.约分。
乘法和除法
1.积的算数平方根的性质
√ab=√a·√b（a≥0，b≥0）
2. 乘法法则
√a·√b=√ab（a≥0，b≥0）
二次根式的乘法运算法则，用语言叙述为：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。
3.除法法则
√a÷√b=√a÷b（a≥0，b>0）且a不等于b
二次根式的除法运算法则，用语言叙述为：两个数的算术平方根的商，等于这两个数商的算术平方根。
4.有理化根式。
如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式叫做有理化根式,也称有理化因式
加法和减法
1 同类二次根式
一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，笼统的说，就是根号内的数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。
2 合并同类二次根式
把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。
3二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。
例如：2√5+√5=3√5 2√3+3√3=5√3 3√2+2√5不成立
4、有括号时，要先去括号。
混合运算
1.确定运算顺序
2.灵活运用运算定律
3.正确使用乘法公式
4.大多数分母有理化要及时
5.在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化
6.字母运算时注意隐含条件和末尾括号的注明。
分母有理化
分母有理化有两种方法
I.分母是单项式
如:√a/√b=√a×√b/√b×√b=√ab/b
如图
II.分母是多项式
二次根式 可以利用平方差公式
如1/√a+√b=√a－√b/(√a+√b)(√a－√b)=√a－√b/a－b
如图根式中分母不能含有根号，且要变为最简的才行。
整式的运算
1、幂的运算法则（m,n是整数）：
（1）a×a=a²；
（2）a²÷a=a；（a≠0）
（3）(a)²=a²
（4）(ab)²=a²b²
2、整式的运算（aXa=6&bxb=9)
(4aX3a=6)
3、乘法公式：
(a+b)(a-b)=a²-b²
(a+b)²=a²+2ab+b²
(a-b)²=a²-2ab+b²
(a+b)( a²-ab+b²) =a³+b³
(a-b)( a²+ab+b²) =a³-b³
(三)多项式的因式分解
把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解1、提公因式法；
二次根式 2、公式法：
a²-b²=(a+b)(a-b)
a²+2ab+b²=(a+b)²
a²-2ab+b²=(a-b)²
a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)
a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)
3、十字相乘法或求根法分解二次三项式：
(x+a)(x+b)=x²+（a+b）x+ab
ax+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
应用
二次根式的应用主要体现在两个方面：1.利用从特殊到一般，在由一般到特殊的重要思想方法，解决一些规律探索性问题；2.利用二次根式解决长度、高度计算问题，根据已知量，求出一些长度或高度，或设计省料的方案，以及图形的拼接、分割问题。这个过程需要用到二次根式的计算，其实就是化简求值。
【典型例题】小丽想用一块面积为400c㎡的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300c㎡的长方形纸片，使它的长、宽比为3：2，不知道能否裁出来，正在发愁你能帮他解决吗？
【解析】√400=20cm，设长方形的长是3x，则宽是2x，由此可得 3x×2x=300，
x^2=50，x=√50>√49=7。长方形的长为21cm，21cm>20cm，所以不能裁出来。
分母有理化
在分母含有根号的式子中，把分母的根号化去，叫做分母有理化。
分母有理化即将分母从非有理数转化为有理数的过程，以下列出分母有理化的几种方法：
（1）直接利用二次根式的运算法则：
例：﹙a≥0，b>0﹚
（2）利用平方差公式：
例：﹙a≥0，b≥0，a≠b﹚
（3）利用因式分解：
例：（此题可运用待定系数法便于分子的分解）
（4）利用约分：
﹙x>0，y>0﹚
分子有理化
把分子中的根号化去，叫做分子有理化。
﹙a≥0，b≥0，a≠b﹚
换元法
换元法即把根式中的某一部分用另一个字母代替的方法，是化简的重要方法之一。
例：在根式中，令，即可得到
原式=
分析：通过换元法换元，将根号下的数化简，最后求值。
运算法则
乘除法
1.积的算数平方根的性质
（a≥0，b≥0）
2. 乘法法则
（a≥0，b≥0）
二次根式的乘法运算法则，用语言叙述为：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。
3.除法法则（a≥0，b>0）
二次根式的除法运算法则，用语言叙述为：两个数的算术平方根的商，等于这两个数商的算术平方根。
运用
二次根式的应用主要体现在两个方面：
（1）利用从特殊到一般，在由一般到特殊的重要思想方法，解决一些规律探索性问题；
（2）利用二次根式解决长度、高度计算问题，根据已知量，求出一些长度或高度，或设计省料的方案，以及图形的拼接、分割问
题。这个过程需要用到二次根式的计算，其实就是化简求值。