二叉排序树(Binary Search Tree)是一种动态树表。 二叉排序树的定义:二叉排序树或者是一棵空树， 或者是一棵具有如下性质的二叉树: ⑴ 若它的左子树非空，则左子树上所有结点的值均小于根结点的值; ⑵ 若它的右子树非空，则右子树上所有结点的值均大于根结点的值; ⑶ 左、右子树本身又各是一棵二叉排序树。二叉排序树的性质: 按中序遍历二叉排序树，所得到的中序遍历序列是一个递增有序序列。

• 中文名 二叉排序树查找
• 外文名 Binary Search Tree
• 结    构 数据
• 是一种 动态树表

主题

　　二叉排序树查找

内容

　　1.二叉排序树的概念:

　　二叉排序树是一种动态树表。

　　二叉排序树的定义：二叉排序树或者是一棵空树，

　　或者是一棵具有如下性质的二叉树：

　　⑴ 若它的左子树非空，则左子树上所有结点的值均小于根结点的值；

　　⑵ 若它的右子树非空，则右子树上所有结点的值均大于根结点的值；

　　⑶ 左、右子树本身又各是一棵二叉排序树。二叉排序树的性质： 按中序遍历二叉排序树，所得到的中序遍历序列是一个递增有序序列。

　　2.二叉排序树的插入:

　　在二叉排序树中插入新结点，要保证插入后的二叉树仍符合二叉排序树的定义。

　　插入过程：若二叉排序树为空，则待插入结点*S作为根结点插入到空树中；

　　当非空时，将待插结点关键字S->key和树根关键字t->key进行比较，

　　若s->key = t->key,则无须插入，若s->key< t->key,则插入到根的左子树中，

　　若s->key> t->key,则插入到根的右子树中。而子树中的插入过程和在树中的插入过程相同，

　　如此进行下去，直到把结点*s作为一个新的树叶插入到二叉排序树中，或者直到发现树已有相同关键字的结点为止。

　　3. 二叉排序树生成：

　　从空的二叉排序树开始，经过一系列的查找插入操作以后，生成了一棵二叉排序树。

　　说明：

　　① 每次插入的新结点都是二叉排序树上新的叶子结点。

　　② 由不同顺序的关键字序列，会得到不同二叉排序树。

　　③ 对于一个任意的关键字序列构造一棵二叉排序树，其实质上对关键字进行排序。

　　4.二叉排序树查找的程序实现:

　　5. 二叉排序树的删除:

　　假设被删结点是*p，其双亲是*f，不失一般性，设*p是*f的左孩子，下面分三种情况讨论：

　　⑴ 若结点*p是叶子结点，则只需修改其双亲结点*f的指针即可。

　　⑵ 若结点*p只有左子树PL或者只有右子树PR，则只要使PL或PR 成为其双亲结点的左子树即可。

　　⑶ 若结点*p的左、右子树均非空，先找到*p的中序前趋结点*s（注意*s是*p的左子树中的最右下的结点，它的右链域为空），然后有两种做法：

　　① 令*p的左子树直接链到*p的双亲结点*f的左链上,而*p的右子树链到*p的中序前趋结点*s的右链上。

　　② 以*p的中序前趋结点*s代替*p（即把*s的数据复制到*p中），将*s的左子树链到*s的双亲结点*q的左（或右）链上。

　　6. 删除算法演示 :

　　7. 二叉排序树的查找:

　　在二叉排序树中进行查找的过程和二分查找类似，也是一个逐步缩小查找范围的过程。若查找成功，则是走了一条从根结点到待查结点的路径；若查找失败，则是走了一条根结点到某个叶子结点的路径。因此，查找过程中和关键字比较的次数不超过树的深度。

　　由于含有n个结点的二叉排序树不唯一，形态和深度可能不同。故含有n个结点的二叉排序树的平均查找长度和树的形态有关。

　　最好的情况是： 二叉排序树和二叉判定树形态相同。

　　最坏的情况是： 二叉排序树为单支树，这时的平均查找长度和顺序查找时相同。

　　最坏情况示例

　　就平均性能而言，

　　二叉排序树上的查找和二分查找相差不大，并且二叉排序树上的插入和删除结点十分方便，无须大量移动结点。