中位线是在三角形或梯形中一条特殊的线段，与其所在的三角形或梯形有着特殊的关系。连接三角形的两边中点的线段叫做三角形的中位线。三角形有三条中位线，首尾相接时，每个小三角形面积都等于原三角形的四分之一，这四个三角形都互相全等。

• 中文名称 中位线定理
• 外文名称 Median line of triangle
• 用途 平面几何线段间的关系

概念

中位线概念

　　(1)三角形中位线定义:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

　　(2)梯形中位线定义:连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。

注意

　　(1)要把三角形的中位线与三角形的中线区分开。三角形中线是连接一顶点和它的对边中点的线段，而三角形中位线是连接三角形两边中点的线段。

　　(2)梯形的中位线是连接两腰中点的线段而不是连结两底中点的线段。

　　(3)两个中位线定义间的联系:可以把三角形看成是上底为零时的梯形，这时三角形的中位线就变成梯形的中位线。

定理

　　(1)三角形中位线定理:三角形的中位线平行且相等于第三边的一半.

　　(2)梯形中位线定理:梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.

例题

　　已知:如图1，DE是△ABC的中位线

　　求证:DE∥BC DE=1/2 BC

　　证明:延长DE至F，使EF=DE，连接CF

　　∵DE是△ABC的中位线

　　∴AE=CE

　　在△ADE和△CFE中

　　∵AE=CE(已证)，∠AED=∠CEF(对顶角相等)，DE=EF(已作)

　　∴△ADE≌△CFE(SAS)

　　∴AD=CF(全等三角形对应边相等)

　　∠ADE=∠F(全等三角形对应角相等)

　　∴BD∥CF(内错角相等，两直线平行)

　　∵AD=BD

　　∴BD=CF

　　∴四边形BCFD是平行四边形

　　∴DE//BC，DE=1/2DF=1/2BC

证明

　　已知△ABC中，D、E分别是AB、AC两边中点。

　　求证DE平行于BC且等于BC/2

　　方法一:几何法

　　过C作AB的平行线交DE的延长线于G点。

　　∵CG∥AD

　　∴∠A=∠ACG

　　∵∠AED=∠CEG、AE=CE、∠A=∠ACG(用大括号)

　　∴△ADE≌△CGE (A.S.A)

　　∴AD=CG(全等三角形对应边相等)

　　∵D为AB中点

　　∴AD=BD

　　∴BD=CG

　　又∵BD∥CG

　　∴BCGD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)

　　∴DG∥BC且DG=BC

　　∵△ADE≌△CGE (A.S.A)

　　∴DE=GE

　　∴DE=DG/2=BC/2

　　∴三角形的中位线定理成立

　　方法二:坐标法

　　设三角形三点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)

　　则一条边长为 :根号(x2-x1)^2+(y2-y1)²

　　另两边中点为((x1+x3)/2，(y1+y3)/2)，和((x2+x3)/2，(y2+y3)/2)

　　这两中点距离为:根号((x2+x3)/2-(x1+x3)/2)^2+((y2+y3)/2-(y1+y3)/2)^2

　　最后化简时将x3，y3消掉正好中位线长为其对应边长的一半

　　方法三

　　延长DE到点G，使EG=DE，连接CG

　　∵点E是AC中点

　　∴AE=CE

　　∵AE=CE、∠AED=∠CEF、DE=GE

　　∴△ADE≌△CGE (S.A.S)

　　∴AD=CG、∠G=∠ADE

　　∵D为AB中点

　　∴AD=BD

　　∴BD=CG

　　∵点D在边AB上

　　∴DB∥CG

　　∴BCGD是平行四边形

　　∴DE=DG/2=BC/2

　　∴三角形的中位线定理成立

　　方法四:向量DE=DA+AE=(BA+AC)/2=BC/2

　　∴DE//BC且DE=BC/2