数论的

　　  公式

　　一个分支，以研究数的有理逼近问题为主。这里所谓的数是指实数、复数、代数数或超越数。数的有理逼近问题

　　  公式

　　，可表为求某种不等式的整数解问题。由于在整数范围求解的方程称为不定方程或丢番图方程，因而把求不等式的整数解问题称之为丢番图逼近。

　　1842年，P.G.L.狄利克雷首先证明了实数有理逼近的一个结果:如果α是任意实数，Q是大于1的实数，那么存在整数对p、q，满足两个不等式:1≤q≤Q和|αq-p|≤Q。由此可得，如果α是任意无理数，那么存在无穷多对互素的整数对p、q，满足不等式|α-p/q|<q。当α是有理数时，上式不成立

　　。

　　1891年

　　  公式

　　，A.胡尔维茨将上式改进为并指出，对于某些无理数，常数是最佳值，

刘维尔定理

　　  刘维尔定理

　　不可再减小。但是对于很多无理数，常数不是最佳值，还可再减小。1926年，A.Я.辛钦证明了:在勒贝格测度意义下对几乎所有的实数α，不等式|α-p/q|<ψ(q)/q的整数解p、q有无穷多对还是只有有穷多对，由级数是发散的还是收敛的而定，这里 ψ(q)(q>0)是正的非增函数。此即所谓丢番图逼近测度定理。例如，对几乎所有的实数 α和任意的δ>0，不等式|α-p/q|<q只有有穷多对整数解，而不等式|α-p/q|<q(ln q)有无穷多对整数解。

　　丢番图逼近与连分数有密切联系。一个数的连分数展开，往往就是具体构造有

　　  公式

　　理逼近解的过程。例如，对于任意无理数α，有无穷多个渐近分数pn/qn，满足不等式

　　1844年，J.刘维尔开创了实代数数的有理逼近的研究，他证明了:如果α是次数为d的实代数数，那么存在一个常数C(α)>0，对于每个不等于α的有理数p/q，有|α-p/q|>C(α)/q。亦即如果μ>d，那么不等式|α-p/q|<qμ只有有穷多个解p/q。根据这一结果，刘维尔构造出了历史上的第一个超越数。以后一些数学家不断改进指数μ 的值，直到得出μ 与 d无关的结果。1909年，A.图

　　  公式

　　埃得到μ >1+d/2。1921年，C.L.西格尔得到。1947年至1948年间，F.戴森和A.O.盖尔丰德各自独立证明了。1955年，K.F.罗特得到了μ与d无关的一个结论:如果α是实代数数，其次数 d≥2，那么对于任意的δ>0，不等式只有有穷多个解。这

　　  公式

　　一结论又称为图埃-西格尔-罗特定理。

　　对于一组数的有理逼近问题，称之为联立丢番图逼近。狄利克雷关于联立逼近有如下论断:如果α1，…，αn是n个实数，Q>1是整数，那么存在一组整数q,p1，…，pn满足不等式组

　　进而，如果α1，…，αn中至少有一个无理数，那么存在无穷多组解(p1/q，…，pn/q)，适合不等式组

　　关于实

　　  公式

　　代数数的联立有理逼近，直到1970年才由W.M.施密特彻底解决。他证明了:如果α1，…，αn是实代数数，并且1,α1，…，αn在有理数域上线性无关，那么对任意的δ>0，只有有限多个正整数q使得成立。式中记号‖x‖表示x与最近整数的距离。这一结果的一个等价表达方式:对于上述的实数α1，…，αn及任意的δ>0，只有有限多组非零整数q1，…，qn适合。

　　由此可知，联立不等式

　　只有有限多组解(p1/q，…，pn/q)，以及不等式

　　只有有限多组整数解p,q1，…，qn。

　　用代数数逼近代数数，也是丢番图逼近的一类重要内容。W.M.施密特所著《丢番图逼近》(1980)一书中，有详细的论述。

　　自20世纪以来，丢番图逼近除自身的发展外，在超越数论、丢番图方程等方面都有重要的应用。

相关介绍

刘维尔定理与 Roth 定理

　　丢番

　　  公式

　　图

　　  公式

　　逼近理论建基于刘维尔关于代数数逼近的定理，该定理简述如下:

　　定理 . 设无理数 α 是个整系数 n 次多项式的根，则存在常数 A > 0，使得对任意两整数 p,q > 0 恒有

　　如右上角图

　　刘维尔定理可用以直接构造超越数。在这之前，数学家们已藉连分数导出关于平方根与其它二次无理数的许多逼近性质。这个结果后来由 Axel Thue 等人改进，并导致 Roth 定理:将刘维尔定理中的指数 n 由代数数的次数缩减到任意的 2+ε(其中 ε>0);之后 Schmidt 将此推广到同步逼近。这些证明颇困难，而且不能得到明确的上界，这在应用上是一大缺憾。

均匀分布

　　另一个主题是模 1 的均匀分布理论。取一实数序列a1,a2…… 并考虑其真分数部份;或

公式

　　  公式

　　者抽象地说是考虑 R/Z，这在拓扑学上是个一维圆环 S1。对圆环上的任一段区间，我们研究有限集 {an:N<-N} 中有多大比例落在该区间，并考虑此比例与区间长度之关系。"均匀分布"意味着当 N→∞，此比例将趋近我们"期望"的值。Hermann Weyl 证明了这等价于该序列元素的指数和之上界，这表明了丢番图逼近与指数和相消的一般问题密切相关，后者在解析数论的误差项估计中无所不在。

其它面向

　　在 Ro

　　  公式

　　th 定理以后，丢番图逼近的主要进展与超越理论相关。均匀分布关乎分布的不规则性，因而带有组合学的本性。丢番图逼近中仍有陈述简单却悬而未解的问题，例如勒特伍德猜想。