三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。三中线交于一点可用燕尾定理证明。

• 中文名称 三角形重心定理
• 难易程度 简单
• 证明方法 燕尾定理
• 三角形的重心 三条边的中线交于一点
• 应用范围 初中几何

定理由来

　　三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。(重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名)

重心的性质

　　1、重心到顶点的距离是重心到对边中点的距离的2倍。

　　2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

　　3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

　　4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为((X1+X2+X3)/3，(Y1+Y2+Y3)/3)。

　　推论:由性质1可知GA+GB+GC=0

　　向量BO与向量BF共线，故可设BO=xBF,

　　根据三角形加法法则:向量AO=AB+BO

　　=a+ xBF=a+ x(AF-AB)

　　= a+ x(b/2-a)=(1-x)a+(x/2)b.

　　向量CO与向量CD共线，故可设CO=yCD,

　　根据三角形加法法则:向量AO=AC+CO

　　=b+ yCD=b+y(AD-AC)

　　= b+y(a/2-b)=(y/2)a+(1-y)b.

　　所以向量AO=(1-x)a+(x/2)b=(y/2)a+(1-y)b.

　　则1-x= y/2， x/2=1-y，

　　解得x=2/3,y=2/3.

　　向量BO=2/3BF，向量CO=2/3CD,

　　即BO:OF=CO:OD=2。

　　∴向量AO=(y/2)a+(1-y)b=1/3a+1/3b,

　　又因向量AE=AB+BE=a+1/2BC= a+1/2(AC-AB)

　　= a+1/2(b-a)=1/2a+1/2b,

　　从而向量AO=2/3向量AE,

　　即向量AO与向量AE共线，所以A、O、E三点共线，

　　且有AO:OE=2.