三角形重心是三角形三条中线的交点。当几何体为匀质物体时，重心与形心重合。

• 中文名称 三角形重心
• 外文名称 center of gravity
• 定义 三角形三条中线的交点
• 性质比例 重心到顶点与到对边中点比为2:1
• 应用领域 数学

重心定义

　　三角形重心是三角形三边每一边的三条中线的交点。当几何体为匀质物体时，重心与该形中心重合。

性质证明

　　1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。

证明一

　　例:已知:△ABC，E、F是AB，AC的中点。EC、FB交于G。

　　求证:EG=1/2CG

　　证明:过E作EH∥BF交AC于H。

　　∵AE=BE，EH//BF

　　∴AH=HF=1/2AF(平行线分线段成比例定理)

　　又∵ AF=CF

　　∴HF=1/2CF

　　∴HF:CF=1/2

　　∵EH∥BF

　　∴EG:CG=HF:CF=1/2

　　∴EG=1/2CG

　　方法二 连接EF

　　利用三角形相似

　　求证:EG=1/2CG 即证明EF=1/2BC

　　利用中位线可证明EF=1/2BC

　　即EG=1/2CG

证明二

　　2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

　　证明方法:

　　在△ABC内，三边为a，b，c，点O是该三角形的重心，AOA'、BOB'、COC'分别为a、b、c边上的中线。根据重心性质知:

　　OA'=1/3AA'

　　OB'=1/3BB'

　　OC'=1/3CC'

　　过O，A分别作a边上高OH'，AH

　　可知OH'=1/3AH

　　则，S△BOC=1/2×OH'a=1/2×1/3AHa=1/3S△ABC

　　同理可证S△AOC=1/3S△ABC

　　S△AOB=1/3S△ABC

　　所以，S△BOC=S△AOC=S△AOB

　　3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。 (等边三角形)

　　证法一:

　　设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 平面上任意一点为(x0，y0) 则该点到三顶点距离平方和为:

　　(x1-x0)+(y1-y0)+(x2-x0)+(y2-y0)+(x3-x0)+(y3-y0)

　　=3x0-2x0(x1+x2+x3)+3y0-2y0(y1+y2+y3)+x1+x2+x3+y1+y2+y3

　　=3[x0-1/3*(x1+x2+x3)]+3[y0-1/3*(y1+y2+y3)]+x1+x2+x3+y1+y2+y3-1/3(x1+x2+x3)-1/3(y1+y2+y3)

　　显然当x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3(重心坐标)时

　　上式取得最小值x1+x2+x3+y1+y2+y3-1/3(x1+x2+x3)-1/3(y1+y2+y3)

　　最终得出结论。

　　证法二:由性质8(卡诺重心定理)可得出结论。

　　4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，

　　即其坐标为[(X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3];

　　空间直角坐标系--X坐标:(X1+X2+X3)/3，Y坐标:(Y1+Y2+Y3)/3，Z坐标:(Z1+Z2+Z3)/3.

　　5、三角形内到三边距离之积最大的点。

　　证明:如图所示，点P是△ABC内的一点，连接PA，PB，PC，作点P到BC、AC、AB的垂线段，垂足分别为D、E、F，延长AP交BC于M。记△ABC的面积为S，BC为a，AC为b，AB为c，PD为a'，PE为b'，PF为c'。

　　∵aa'/2+bb'/2+cc'/2=S△BCP+S△ACP+S△ABP=S

　　∴aa'+bb'+cc'=2S

　　由均值不等式知，[(aa'+bb'+cc')/3]^3≥aa'bb'cc'=(abc)*(a'b'c')，当且仅当aa'=bb'=cc'时等号成立。

　　∴a'b'c'≤[(aa'+bb'+cc')/3]^3/(abc)=(S/3)^3/(abc)=8S^3/(27abc)，当且仅当aa'=bb'=cc'时等号成立。

　　∴a'b'c'只有当aa'=bb'=cc'时才会取得最大值。

　　此时，S△ABP=cc'/2=bb'/2=S△ACP，由燕尾定理知，BM/CM=S△ABP/S△ACP=1。

　　∴此时BM=CM，M是BC的中点，AM是△ABC的中线，P在△ABC中BC边的中线上。

　　同理可证此时P在△ABC中AB、AC边的中线上。

　　∴当a'b'c'最大时，P是△ABC的重心，即重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

　　6、在△ABC中，若MA向量+MB向量+MC向量=0(向量) ，则M点为△ABC的重心，反之也成立。

　　7、设△ABC重心为G点，所在平面有一点O，则向量OG=1/3(向量OA+向量OB+向量OC)

　　8、卡诺重心定理:若G为三角形ABC的重心,P为三角形ABC所在平面上任意一点，则PA^2+PB^2+PC^2=GA^2+GB^2+GC^2+3PG^2=1/3(a^2+b^2+c^2)+3PG^2

　　证明:GA^2 + PG^2 = PA^2 + 2GA*PGcos(AGP)

　　GB^2 + PG^2 = PB^2 + 2GB*PGcos(BGP)

　　GC^2 + PG^2 = PC^2 + 2GC*PGcos(CGP)

　　GA^2 + GB^2 + GC^2 + 3PG^2 = PA^2 + PB^2 + PC^2 + 2PG[GA*cos(AGP) + GB*cos(BGP) + GC*cos(CGP)]

　　延长射线AG,交BC于D,继续延长,使得GD = DE = AG/2.

　　连接EB,EC,

　　四边形GBEC为平行四边形.

　　EB = GC

　　延长射线PG,

　　过点B作PG的延长线的垂线,垂足为F.

　　过点E作PG的延长线的垂线,垂足为H.

　　BE与PG的延长线的交点为点Q.

　　则,因GC//BE,角CGP = 角EQG = 角BQF

　　GH = GE*cos(EGH) = GA*cos(AGP)

　　HF = EB*cos(BQF) = GC*cos(EQG) = GC*cos(CGP)

　　而

　　GH + HF = GF = GB*cos(BGF) = GB*cos(PI-BGP) = -GB*cos(BGP),

　　因此,

　　GA*cos(AGP) + GB*cos(BGP) + GC*cos(CGP) = 0,

　　GA^2 + GB^2 + GC^2 + 3PG^2

　　= PA^2 + PB^2 + PC^2 + 2PG[GA*cos(AGP) + GB*cos(BGP) + GC*cos(CGP)]

　　= PA^2 + PB^2 + PC^2

　　利用上面的结论,

　　令P与A重合,有

　　GA^2 + GB^2 + GC^2 + 3GA^2

　　= AB^2 + AC^2 ...(1)

　　令P与B重合,有

　　GA^2 + GB^2 + GC^2 + 3GB^2

　　= AB^2 + BC^2 ...(2)

　　令P与C重合,有

　　GA^2 + GB^2 + GC^2 + 3GC^2

　　= BC^2 + AC^2 ...(3)

　　(1),(2),(3)相加,有

　　3[GA^2 + GB^2 + GC^2] + 3[GA^2 + GB^2 + GC^2] = 2[AB^2 + BC^2 + AC^2],

　　GA^2 + GB^2 + GC^2 = [AB^2 + BC^2 + AC^2]/3 = (a^2 + b^2 + c^2)/3.

　　得证.

顺口溜

　　三条中线必相交，交点命名为重心

　　重心分割中线段，线段之比二比一;

向量关系

　　O是重心，向量OA+向量OB+向量OC=零向量。