三角形的中位线平行于第三边（不与中位线接触），并且等于第三边的一半。

• 中文名 三角形中位线定理
• 对象 三角形
• 性质1 中位线平行于第三边
• 性质2 等于第三边的一半
• 所属领域 几何数学

定理

　　三角形的中位线平行于第三边(不与中位线接触)，并且等于第三边的一半。

　　连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。

证明

　　如图，已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点。

　　求证DE平行于BC且等于BC/2

　　方法一:过C作AB的平行线交DE的延长线于G点。    

　　∵CG∥AD

　　∴∠A=∠ACG

　　∵∠AED=∠CEG、AE=CE、∠A=∠ACG(用大括号)

　　∴△ADE≌△CGE (A.S.A)

　　∴AD=CG(全等三角形对应边相等)

　　∵D为AB中点

　　∴AD=BD

　　∴BD=CG

　　又∵BD∥CG

　　∴BCGD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)

　　∴DG∥BC且DG=BC

　　∴DE=DG/2=BC/2

　　∴三角形的中位线定理成立.

　　方法二:相似法:

　　∵D是AB中点

　　∴AD:AB=1:2

　　∵E是AC中点

　　∴AE:AC=1:2

　　又∵∠A=∠A

　　∴△ADE∽△ABC

　　∴AD:AB=AE:AC=DE:BC=1:2

　　∠ADE=∠B，∠AED=∠C

　　∴BC=2DE,BC∥DE

　　方法三:坐标法:

　　设三角形三点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)

　　则一条边长为 :根号(x2-x1)^2+(y2-y1)^2

　　另两边中点为((x1+x3)/2，(y1+y3)/2)，和((x2+x3)/2，(y2+y3)/2)

　　这两中点距离为:根号((x2+x3)/2-(x1+x3)/2)^2+((y2+y3)/2-(y1+y3)/2)^2

　　最后化简时将x3，y3消掉正好中位线长为其对应边长的一半

　　方法4:

　　延长DE到点G，使EG=DE，连接CG

　　∵点E是AC中点

　　∴AE=CE

　　∵AE=CE、∠AED=∠CEG、DE=GE

　　∴△ADE≌△CGE (S.A.S)

　　∴AD=CG、∠G=∠ADE

　　∵D为AB中点

　　∴AD=BD

　　∴BD=CG

　　∵点D在边AB上

　　∴DB∥CG

　　∴BCGD是平行四边形

　　∴DE=DG/2=BC/2

　　∴三角形的中位线定理成立

　　方法五:向量DE=DA+AE=(BA+AC)/2=BC/2

　　∴DE//BC且DE = BC/2

逆定理

　　逆定理一:在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。

　　如图DE//BC，DE=BC/2，则D是AB的中点，E是AC的中点。

　　证明:∵DE∥BC

　　∴△ADE∽△ABC

　　∴AD:AB=AE:AC=DE:BC=1:2

　　∴AD=AB/2，AE=AC/2，即D是AB中点，E是AC中点。

　　逆定理二:在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。

　　如图D是AB的中点，DE//BC，则E是AC的中点，DE=BC/2

　　证明:取AC中点E'，连接DE'，则有

　　AD=BD，AE'=CE'

　　∴DE'是三角形ABC的中位线

　　∴DE'∥BC

　　又∵DE∥BC

　　∴DE和DE'重合(过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行)

　　∴E是中点，DE=BC/2

　　注意:在三角形内部，经过一边中点，且等于第三边一半的线段不一定是三角形的中位线!

　　如图，在△ABC中，D是AB中点，E在AC上，DE=BC/2，那么DE不一定是△ABC的中位线。理由如下:

　　以D为圆心，DE为半径作圆，设⊙D与AC交于另一点E'，则有DE'=DE=BC/2，但DE'不是三角形的中位线。

　　但在一定条件下该命题是真命题。根据正弦定理解三角形可知，若∠A是锐角，当DE≥AD(即当BC≥AB)，或DE=ADsinA(即BC=ABsinA，此时∠C=90°)时，命题成立。若∠A是钝角或直角，则当DE>AD(即BC>AB)时，命题成立。