又称三角函数的加法定理，是几个角的和(差)的三角函数通过其中各个角的三角函数来表示的关系

• 中文名 三角函数和角公式
• 外文名 Trigonometric function and angle formula
• 应用学科 数学
• 适用领域范围 数学

诱导公式

　　常用的诱导公式有以下几组:

　　1.sinα^2 +cosα^2=1

　　2.sinα/cosα=tanα

　　3.tanα=1/cotα

　　公式一:

　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等:

　　sin(2kπ+α)=sinα

　　cos(2kπ+α)=cosα

　　tan(2kπ+α)=tanα

　　cot(2kπ+α)=cotα

　　公式二:

　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:

　　sin(π+α)=-sinα

　　cos(π+α)=-cosα

　　tan(π+α)=tanα

　　cot(π+α)=cotα

　　公式三:

　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系:

　　sin(-α)=-sinα

　　cos(-α)=cosα

　　tan(-α)=-tanα

　　cot(-α)=-cotα

　　公式四:

　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系:

　　sin(π-α)=sinα

　　cos(π-α)=-cosα

　　tan(π-α)=-tanα

　　cot(π-α)=-cotα

　　公式五:

　　利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系:

　　sin(2π-α)=-sinα

　　cos(2π-α)=cosα

　　tan(2π-α)=-tanα

　　cot(2π-α)=-cotα

　　公式六:

　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系:

　　sin(π/2+α)=cosα

　　cos(π/2+α)=-sinα

　　tan(π/2+α)=-cotα

　　cot(π/2+α)=-tanα

　　sin(π/2-α)=cosα

　　cos(π/2-α)=sinα

　　tan(π/2-α)=cotα

　　cot(π/2-α)=tanα

　　sin(3π/2+α)=-cosα

　　cos(3π/2+α)=sinα

　　tan(3π/2+α)=-cotα

　　cot(3π/2+α)=-tanα

　　sin(3π/2-α)=-cosα

　　cos(3π/2-α)=-sinα

　　tan(3π/2-α)=cotα

　　cot(3π/2-α)=tanα

　　(以上k∈Z)

常用公式

　　口诀;奇变偶不变，符号看象限

　　一般的最常用公式有:

　　Sin(A+B)=SinA*CosB+SinB*CosA

　　Sin(A-B)=SinA*CosB-SinB*CosA

　　Cos(A+B)=CosA*CosB-SinA*SinB

　　Cos(A-B)=CosA*CosB+SinA*SinB

　　Tan(A+B)=(TanA+TanB)/(1-TanA*TanB)

　　Tan(A-B)=(TanA-TanB)/(1+TanA*TanB)

　　同角三角函数的关系(即同角八式)

　　·平方关系:

　　sin^2(α)+cos^2(α)=1

　　tan^2(α)+1=sec^2(α)

　　cot^2(α)+1=csc^2(α)

　　·积的关系:

　　sinα=tanα*cosα

　　cosα=cotα*sinα

　　tanα=sinα*secα

　　cotα=cosα*cscα

　　secα=tanα*cscα

　　cscα=secα*cotα

　　·倒数关系:

　　tanα·cotα=1

　　sinα·cscα=1

　　cosα·secα=1

　　·商数关系:

　　sina/cosa=tana

　　cosa/sina=cota

　　直角三角形ABC中,

　　角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,

　　sina=y/r

　　余弦等于角A的邻边比斜边

　　cosa=x/r

　　正切等于对边比邻边,

　　tana=y/x

　　三角函数恒等变形公式

　　·两角和与差的三角函数:

　　cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

　　cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

　　sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ

　　sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ

　　tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)

　　tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

　　·辅助角公式:

　　Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中

　　sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)

　　cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)

　　·倍角公式:

　　sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)

　　cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)

　　tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]

　　·三倍角公式:

　　sin(3α)=3sinα-4sin^3(α)

　　cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα

　　·半角公式:

　　sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)

　　cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)

　　tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα

　　·降幂公式:

　　sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2

　　cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=vercos(2α)/2

　　tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))

　　·万能公式:

　　sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]

　　cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]

　　tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

　　·积化和差公式:

　　sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

　　cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

　　cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]

　　sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]

　　·和差化积公式:

　　sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

　　sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

　　cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

　　cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

　　·其他:

　　sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0

　　cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及

　　sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2

　　tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0

高等内容

　　部分高等内容

　　·高等代数中三角函数的指数表示

　　·高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得):

　　sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i)

　　cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2

　　tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]

　　泰勒展开有无穷级数，e^z=exp(z)=1+z/1!+z^2/2!+z^3/3!+z^4/4!+…+z^n/n!+…

　　此时三角函数定义域已推广至整个复数集。

　　·三角函数作为微分方程的解

　　·三角函数作为微分方程的解:

　　对于微分方程组 y=-y'';y=y''''，有通解Q,可证明

　　Q=Asinx+Bcosx，因此也可以从此出发定义三角函数。

　　补充:由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数--双曲函数，其拥有很多与三角函数的类似的性质，二者相映成趣。

特殊值

　　特殊三角函数值

　　a 0` 30` 45` 60` 90` 120` 135` 150` 180` 270` 360`

　　sina 0 1/2 √2/2 √3/2 1 √3/2 √2/2 1/2 0 -1 0

　　cosa 1 √3/2 √2/2 1/2 0 -1/2 -√2/2 -√3/2 -1 0 1

　　tana 0 √3/3 1 √3 ∞ -√3 -1 -√3/3 0 ∞ 0

　　cota ∞ √3 1 √3/3 0 -√3/3 -1 -√3 ∞ 0 ∞

　　注:seca=1/cosa csca=1/sina

　　15度角的三角函数值:

　　正弦为(√6-√2)/4;

　　余弦为(√6+√2)/4;

　　正切为2-√3，

　　余切为2+√3。

象限符号

函数计算

　　三角函数的计算

　　幂级数

　　c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn (n=0..∞)

　　c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n (n=0..∞)

　　它们的各项都是正整数幂的幂函数, 其中c0,c1,c2,...cn...及a都是常数, 这种级数称为幂级数.

　　泰勒展开式(幂级数展开法):

　　f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)2+...f(n)(a)/n!*(x-a)n+...

　　实用幂级数:

　　ex = 1+x+x2/2!+x3/3!+...+xn/n!+...

　　ln(1+x)= x-x2/3+x3/3-...(-1)k-1*xk/k+... (|x|<1)

　　sinx = x-x3/3!+x5/5!-...(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+... (-∞<x<∞)

　　cosx = 1-x2/2!+x4/4!-...(-1)k*x2k/(2k)!+... (-∞<x<∞)

　　arcsinx = x + 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 + ... (|x|<1)

　　arccosx = π - ( x + 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 + ... ) (|x|<1)

　　arctanx = x - x^3/3 + x^5/5 - ... (x≤1)

　　sinh x = x+x3/3!+x5/5!+...(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+... (-∞<x<∞)

　　cosh x = 1+x2/2!+x4/4!+...(-1)k*x2k/(2k)!+... (-∞<x<∞)

　　arcsinh x = x - 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 - ... (|x|<1)

　　arctanh x = x + x^3/3 + x^5/5 + ... (|x|<1)

　　--------------------------------------------------------------------------------

傅立叶

　　傅立叶级数(三角级数)

　　f(x)=a0/2+∑(n=0..∞) (ancosnx+bnsinnx)

　　a0=1/π∫(π..-π) (f(x))dx

　　an=1/π∫(π..-π) (f(x)cosnx)dx

　　bn=1/π∫(π..-π) (f(x)sinnx)dx

　　sin2a=2sinacosa

　　cos2a=cosa^2-sina^2

　　=1-2sina^2

　　=2cosa^2-1

　　tan2a=2tana/1-tana^2