一般地，假设一元函数 y=f(x )在 x0点的附近(x0-a ，x0 +a)内有定义，当自变量的增量Δx= x-x0→0时函数增量 Δy=f(x)-f(x)与自变量增量之比的极限存在且有限，就说函数f在x0点可导，称之为f在x0点的导数(或变化率)，记作f′(x0)，即

f′(x0)=Δy/Δx (Δx→0)

若极限为无穷大，称之为无穷大导数。

若函数f在区间I 的每一点都可导，便得到一个以I为定义域的新函数，记作 f′，称之为f的导函数，简称为导数。

函数y=f(x)在x0点的导数f′(x0)的几何意义:表示曲线l 在P0(x0，f(x0)) 点的切线斜率。

物理学、几何学、经济学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示。如，导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度、可以表示曲线在一点的斜率、还可以表示经济学中的边际和弹性。

• 中文名 一阶导数
• 外文名 derivative
• 学科 数学
• 别称 变化率
• 性质 数学概念

定义

　　导数 derivative 由速度问题和切线问题抽象出来的数学概念。又称变化率。

　　如一辆汽车在10小时内走了 600千米，它的平均速度是60千米/小时，但在实际行驶过程中，是有快慢变化的，不都是60千米/小时。为了较好地反映汽车在行驶过程中的快慢变化情况，可以缩短时间间隔，设汽车所在位置x与时间t的关系为x=f(t)，那么汽车在由时刻t0变到t1这段时间内的平均速度是[f(t1)-f(t0)/t1-t0]，当 t1与t0很接近时，汽车行驶的快慢变化就不会很大，平均速度就能较好地反映汽车在t0 到 t1这段时间内的运动变化情况 ，自然就把极限[f(t1)-f(t0)/t1-t0] 作为汽车在时刻t0的瞬时速度，这就是通常所说的速度。

一般定义

　　导数是微积分中的重要概念。导数定义为，当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。

几何意义

　　函数y=f(x)在x0点的导数f′(x0)的几何意义:表示曲线l 在P0(x0,f(x0)) 点的切线斜率。

　　物理学、几何学、经济学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示。如，导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度、可以表示曲线在一点的斜率、还可以表示经济学中的边际和弹性。

　　y=f(x )的导数f′就是f的一阶导数。

性质

　　单调性

　　一阶导数表示的是函数的变化率，最直观的表现就在于函数的单调性定理:设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有一阶导数，那么:

　　(1)若在(a,b)内f'(x)>0,则f(x)在[a,b]上的图形单调递增;

　　(2)若在(a,b)内f'(x)<0,则f(x)在[a,b]上的图形单调递减;

　　(3)若在(a,b)内f'(x)=0,则f(x)在[a,b]上的图形是平行(或重合)于x轴的直线，即在[a,b]上为常数。

　　在右图可以直观的看出:函数的导数就是一点上的切线的斜率。当函数单调递增时，斜率为正，函数单调递减时，斜率为负。

导数与微分

　　微分也是一种线性描述函数在一点附近变化的方式。微分和导数是两个不同的概念。但是，对一元函数来说，可微与可导是完全等价的。可微的函数，其微分等于导数乘以自变量的微分dx，换句话说，函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。函数y=f(x)的微分又可记作dy=f'(x)dx。

可导的条件

　　如果一个函数的定义域为全体实数，即函数在实数域上都有定义，那么该函数是不是在定义域上处处可导呢?答案是否定的。函数在定义域中一点可导需要一定的条件。首先，要使函数f在一点可导，那么函数一定要在这一点处连续。换言之，函数若在某点可导，则必然在该点处连续。

　　可导的函数一定连续，不连续的函数一定不可导。