区域函式(region function)是一种以区域为自变数的函式，对任意的n∈N+，若D是Rn中的区域，而对D的每个子区域D′，对应着惟一的实数，这个对应关係(法则)F就称为定义在D上的一个区域函式。若对于D的任意两个没有公共内点的区域D1和D2，F还满足F(D1∪D2)=F(D1)+F(D2)(D1∪D2仍为区域时)，则F可进一步称为加性区域函式，n=1时，(加性)区域函式可称为(加性)区间函式。数学分析中研究区域函式(区间函式)的意义在于，只有加性区域函式(区间函式)，才可能用重积分或定积分表示。例如，面积、体积、位移、功等都是加性区域(区间)函式，因此，它们都能用重积分或定积分来进行计算；而像平均速度、平均密度、曲边梯形的平均高度这些物理量和几何量，则是没有加性的区域(区间)函式，所以，它们不可能表示成积分。在数学中，加性区域函式实质上是特殊的测度。
基本介绍
- 中文名：区域函式
- 外文名：region function
- 所属学科：数学（高等数学）
- 所属问题：数学分析
- 简介：以区域为自变数的函式
基本介绍
区域函式这个概念，是人们在实践活动中可以直接体验到的。例如，地球上区域的面积随着这个区域的不同而不同，又如非均匀金属丝的质量仍随着所取一段l的变化而变化，所以m就是l的函式，m=m(l)。
定义 一般地，若变数u随着区域σ的变化而变化，我们就称u是区域σ的函式，记为
区域函式的导数—密度函式
在引进二重积分时，讨论从物体的密度求质量的问题，这里要着重指出，物体的密度实际上是区域函式的某种导数，同一元函式的导数情形相似，利用极限可以从区域函式导出各种密度函式来。
例如，当我们讨论非均匀细金属丝的质量分布时，为了刻划质量在各点的不均匀性，就要引进线密度概念。设细丝质量为m1=m1(l)，它是线段l的函式，M是金属丝上的点，取含有点M的小段
，也用来表示这小段的长度，
就是这一段细丝的平均密度；当收缩到点M时，平均密度的极限值称为细丝在点M的线密度，记为μ1(M)，这是从区域函式m1(l)诱导出来的点函式，也就是当收缩到点M，因而
随着的消失而消失时所保留下来的关係。我们也记为μ1(M)
，随之有微分公式
其中
是曲线(细丝)的弧长元素。
一般地，设σ是空间Ω的区域，u(σ)是区域σ的函式，区域的度量(长度，面积或体积)仍记为σ，将σ无限细分，使得区域σ收缩到一点M，其度量σ→0，如果
例如，当σ是三维空间中的曲面时，μ(M)就是曲面的面密度，当σ是三维空间的物体时，μ(M)就是体密度。具体写出时，μ(M)都是x，y，z三元函式，但应该注意它们是从不同的区域函式导出的。
密度函式的积分
一元函式的微分和积分是高等数学中的一对基本矛盾，它们之间的对立统一，构成一元函式微积分学非常生动丰富的内容，这是辩证法在数学中的一个重要运用，相应地在多元函式的微积分中也是如此，上面已引进了各种区域函式的导数和微分的概念，得到区域函式u(σ)和密度函式μ(M)之间的关係：
。根据对立统一的观点，如果将
在区域σ上重新无限累加起来，就得到积分：
。由于积分区域的不同，就有各种不同形式的积分；这些积分，无非是各种形式的区域函式罢了。下面分几方面来叙述。
1.直线上的线密度μ1(x)和单积分
如果已知非均匀细桿的密度μ1，求细桿的质量m，就是求积分
2．平面上的面密度μ2(x,y)和二重积分
如果已知薄片的密度μ2(x,y)，求薄片的质量，就是求二重积分
3．体密度μ3(x,y,z)和三重积分
如果已知物体的密度μ3(x,y,z)，求这物体的质量，就是求三重积分
4．线密度和关于弧长元素ds的积分
空间曲线的弧长，也是由内接折线段长度之和的极限来表达，同平面曲线的情形相类似，空间曲线的弧长微分
曲线段的质量就是质量微元
的无限积累：
的积分。如果曲线的方程为，l的端点A，B所对应的参数为
，那幺这个积分可按下式计算：
