共形几何代数（CGA）是基于高级几何不变数的代数表示和计算系统，是Clifford 代数的一个新的分支 , 主要内容包括表示和计算两部分 :

CGA 为初等几何提供了统一和简洁的齐性代数框架。所谓初等几何 , 即不具有微积分运算的几何 , 包括欧氏几何、双曲（非欧）几何、球面几何、球几何、线几何、投影几何、仿射几何等。在 CGA 提供的简洁计算公式中 , 各种维数的平面和球的几何度量与其几何构造对偶 , 几何上的交和扩张对应于 Cayley 代数交和并 , 距离和夹角对应于表示的内积 , 而所有的几何关係都包含于 Clifford 乘法。各种几何变换可以用旋量和转量显式表示。

由于 CGA 与坐标的选取无关，处理几何问题的过程和结果具有内蕴性的 , 因而可以直接进行几何解释。由于 CGA 对初等几何的表示是统一的，因而一个代数公式可以在各种几何中解释成不同的几何定理。

几何学的研究主题是几何不变数。不变数系统在几何代数化中具有明显的优点 , 但原有的系统代数计算效率低下 , 一般还不如直接使用坐标方便。

CGA 是高级协变数系统和高级不变数系统的结合 , 其不变数子系统称为零括弧代数 (Null Bracket Algebra, 简记 NBA) 。 NBA 具有高效的展开、消元、化简和分解算法 , 从而可以用来进行极其複杂的符号几何计算。 NBA 可以将实际的几何不变数表示成基本不变数的有理单项式形式 , 因而是初等几何的最实用的不变数系统 , 在几何数据处理和几何建模方面表现出巨大的优势。

1997年 , 李洪波在海斯特内斯教授 (D. Hestenes) 和洛克伍德教授 (A. Rockwood) 领导的 NSF 基金项目 Modeling Workstation 中做博士后工作 , 建立了共形几何代数 (Conformal Geometric Algebra, 简记 CGA) 。

经过近一年的考察 , 海斯特内斯对李洪波的研究工作非常满意 , 对共形几何代数的创建极为重视 , 注意到这项数学创造具有广阔的套用前景。 海斯特内斯 是几何代数的创始人 , 是 Clifford 代数领域最有威望的学者 , 2002 年获得美国物理教育 Oersted 大奖 。

1999 年夏季 , 李洪波 , 海斯特内斯和洛克伍德分别在国际会议做邀请报告 , 将这项研究成果公布于众。

1. 李洪波在 The Fifth International Conference on Clifford Algebras and Their Applications (Ixtapa, Mexico, June 27-July 4, 1999) 做邀请报告。

2. 海斯特内斯在 Applied Clifford Algebra in Cybernetics, Robotics, Image Processing and Engineering (ACACSE'99, Ixtapa, Mexico June 27-July 4, 1999) 做邀请报告。

3. 洛克伍德在 Curves and Surfaces: The Fourth International Conference Organized by the Association d'Approximation Francaise , (Saint-Malo, Grenoble, France, July 1-7, 1999) 做邀请报告。

相关学术论文正式发表在论文专着 [GC] 中 , 2001 年由 Springer 出版 。 书中排在最前面的 , 是李洪波 , 海斯特内斯 和洛克伍德联合署名的四篇论文 :

1. [He1] New Algebraic Tools for Classical Geometry,

2. [Li 1] Generalized Homogeneous Coordinates for Computational Geometry,

3. [Li 2] Spherical Conformal Geometry with Geometric Algebra,

4. [Li 3] A Universal Model for Conformal Geometries of Euclidean, Spherical and Double-Hyperbolic Spaces.

其中 , 第一篇论文 [He1] 讲述 Clifford 代数基本知识， 海斯特内斯 为第一作者。

第二篇论文 [Li 1] 叙述共形几何代数的主要内容，李洪波自然是第一作者。这篇论文作为共形几何代数的原始文章，被频繁引用。

第三篇 [Li 2] 、第四篇 [Li 3] 论文是共形几何代数的进一步展开，是第二篇论文的延续，李洪波仍然是第一作者。

这四篇论文明确了李洪波的主创作用。

1、在计算机图形学和动画中的套用 :

剑桥大学几何代数研究组 , 以莱森毕为领导 , 套用 CGA 于 计算机图形学、几何设计和曲面演化。

荷兰阿姆斯特丹大学智慧型自动系统研究组 , 以道斯特为领导 , 热衷于发展基于几何代数 , 尤其是 CGA 的计算机图形学新算法。他们与加拿大滑铁卢大学计算机系和罗马尼亚布加勒斯特技术大学计算机系合作 , 套用 CGA 于碰撞检测 , Voronoi 图表 , 光线追蹤 , 格线曲面 , 点云运动等 , 在 IEEE Trans. Computer Graphics and Applications 和 Computers & Graphics 等 杂誌上发表多篇文章 , 介绍、 探索和套用 CGA, 发展基于几何代数和 CGA 的图形学软体。英国 , 加拿大和德国的一些学者和工程师套用 CGA 开发了新的触觉技术和动画技术。

2、 在计算机视觉和机器人中的套用 :

德国基尔大学认知系统实验室 , 以索莫 ( 德国模式识别学会副主席 ) 为领导 , 套用 CGA 于神经元设计和姿态估计 , 在 International J. Computer Vision 和 ECCV 等杂誌和会议上发表多篇文章。

他们套用 CGA 于姿态估计的工作获得 2002 年德国模式识别学会奖 (DAGM-Preis); 他们 CGA 于神经元设计的工作获得 2003 年德国模式识别学会奖。由于该实验室成员 Rosenhahn 在套用 CGA 于姿态估计方面的出色工作 , 2003 年他获得一项大奖 ―Siegfried Werth 奖。

墨西哥国家高等技术研究所几何计算机视觉实验室 , 以白若科若查诺 ( E. Bayro-Corrochano) 为领导 , 套用 CGA 于照相机定位和神经元设计。

纽西兰奥克兰大学计算机视觉研究组 , 以克赖特 (R. Klette, IEEE. Trans. PAMI 副主编 ) 为领导 , 应 用 CGA 于目标自定位问题 。

英国剑桥大学工程系信号处理研究组 , 以 莱森毕夫人 (J. Lasenby) 为领导 , 套用 CGA 于 机器人运动学和反运动学 。

义大利米兰技术大学德阿夸 (A. Dell'Acqua) , 套用 CGA 于基于多幅图像的线状景物重建 。

美国亚利桑那大学航空和机械工程系法斯 ( E. Fasse), 和工程师米勒 (S. Miller), 套用 CGA 研究具有弹性耦合的刚体力学和齿轮理论 。

3、在物理、数学和数学教育中的套用 :

英国剑桥大学 Cavendish 实验室天体物理研究组 , 以 莱森毕为领导 , 套用 CGA 技术研究宇宙演化和宇宙常数 , 2003年发表了一本专着 。

荷兰尤瑞特 (Utrecht) 大学物理天文学院维特 (F. Witte) 套用 CGA 研究时空 。

墨西哥拉丁美洲普卜拉大学数学系索布柴克 (G. Sobczyk), 西班牙巴塞隆纳大学物理系泊索 (J. Pozo), 和美国佛罗里达州立大学计算机系艾伦巴赫 (G. Erlebacher), 研究 CGA 上的矩阵代数和微分方程。

日本福井大学机械工程系西测 (E. Hitzer) 和莱德利 (L. Redaelli) 套用 CGA 于数学教育 , 製作了各种精美的 Java 程式 , 开发了第一个纯粹基于 CGA 的三维互动 Java 几何绘图软体 KamiWaAi 。

瑞典皇家技术研究所知识管理研究组套用 CGA 于几何建模和数学教育。