如果质点沿着平面曲线C 运动，可以把加速度矢量a 分解为沿着轨道切线方向以及法线方向的两个分量。设曲线C 上某一点为弧长坐标s 的原点O，沿轨道切线一方向运动时，轨道弧长s 增加，沿轨道切线另一方向运动时，轨道弧长s 减小。i 为沿轨道切线方向并指向轨道弧长s 增加的方向上的单位矢量， j 为沿轨道法向并指向曲线凹侧的单位矢量，θ 为轨道前进的切线方向和x 轴之间的夹角，如图一所示。i 、j 和dθ之间满足下列关係式

图一 自然坐标系单位矢量的含义图 质

质点速度为 ，式中ds 是当 改变 时，质点沿曲线C所移动的路程。在极限情况下， ,故 ,且弧长增加（即质点沿单位矢量i方向运动）时，ds > 0；

弧长减小时，ds < 0。于是

因为 , ,，而此处则 等于曲线C 的曲率半径 ，又因 恆大于0，

故

质点沿曲线C 运动的切向和法向加速度分量分别为：

此式又称为内稟方程。

在採用自然坐标系描述质点的平面曲线运动时，把加速度矢量a 分解为沿着轨道的切线以及法线方向两个分量。其中，法线加速度的方向一定指向曲线在该点的凹侧法线方向，这是由于质点法线方向受力的作用只改变质点速度的方向，而不改变质点速度的大小。在曲线的拐点处，法线加速度的大小为零。因此，法线方向的单位矢量 可以规定为沿轨道法向并指向曲线凹侧。对于沿轨道切线方向的单位矢量i ，我们将证明其方向可以任意规定。单位矢量i 正向的选取不会影响加速度矢量在自然坐标系中的表达形式，即沿轨道切线方向不论怎幺选取单位矢量的正向，加速度矢量在自然坐标系中的表达形式都如公式（2）所示。我们考虑质点沿着正弦曲线运动的情况，

图二 自然坐标系单位矢量的新认识（一）

如图二和图三所示。正弦曲线中既有凸的部分，也有凹的部分，同时还存在拐点。弧长坐标s 、单位矢量i 和j 的定义同上，θ 仍为轨道单位矢量i 的正向和x 轴之间的夹角。图二 和图三分别是沿轨道切线单位矢量i 正向选取的两种情况。

图三 自然坐标系单位矢量的新认识（二）

综上所述，单位矢量i 正向的选取不会影响加速度矢量a 在自然坐标系中的表达形式。事实上， dθ 、ds 的正负以及i 、j 和dθ 之间的关係式取决于曲线的凹凸性和单位矢量i 正向的选取。在自然坐标系中，对于常用到的一些关係式，比如曲线在某点的曲率半径会根据dθ 、ds 的正负与ds / dθ 有相应的符号差别。此外，需要说明的是在靠近拐点时，ρ 趋于无穷大，法向加速度大小为零；又考虑到质点法线方向受力的作用只改变质点速度的方向，而不改变质点速度的大小，故在拐点两侧，法向单位矢量j 正向的突变对于求解质点曲线运动问题实质上没有影响。

理论力学中对沿曲线运动的质点, 常把其加速度矢量a 分解为沿轨道的切线方向和法线方向的两个分量:.如果把轨道的切线和法线也作为坐标系来看,则叫自然坐标系。

切向坐标轴正向的选取：沿轨道曲线的切线，并指向弧坐标的正方向。

法向坐标轴正向的选取:沿轨道曲线的主法线方向，即指向曲线的凹侧。

注意：

( 1) 对于任意给定的光滑平面轨道曲线( 设曲线无拐点, 否则可分段考虑), 在各点是唯一确定的, 沿曲线是逐点连续变化的。

(2) 自然系正法向单位矢禅的方向与曲线的正法向( 指向曲率中心), 沿曲线各点处处相同。

( 3) 不仅保持两式恆成立, 而且又有恆成立,

于是就有恆成立。