哥德尔不完全性定理( Godels incompleteness theorem)关于形式演绎系统的元定理。哥德尔在《论数学原理和有关係统中的形式不可判定命题加1931)一文中提出,故称。

它断定:在任何包含初等数论的一致的形式系统中,存在着一个命题命题和它的否定都不是系统的定理。这个命题称为不可判定命题。考虑到命题和它的否定总有一真,定理也可以这样叙述;在上述系统中存在不可判定的真命题。通常把这种表述称为哥德尔第一定理。该定理有一推论:一个包含数论的形式系统的一致性,在系统内部是不可证明的通常称为哥德尔第二定理。

哥德尔不完全性定理是逻辑学和数学在现代发展中取得高度成就的背景下产生的。自17世纪莱布尼茨最早提出通过建立通用语言把演绎逻辑转换为类似于数学的演算的现代逻辑的构想,经布尔、弗雷格、罗素和怀特海的努力,基本上得以实现。在罗素和怀特海合着的《数学原理》中已经把逻辑转换成了演算。但是在数学和逻辑的公理系统中,都尚有一个系统是否一致,是否无矛盾的问题。1922年希尔伯特提出把数学理论置于逻辑之中,加以完全形式化然后用有穷观点去研究系统及其证明,以试图证明系统的一致性,即“希尔伯特方案”。但哥德尔不完全性定理所提出的一致性不能在系统内部获证的证明,否定了希尔伯特这一方案。哥德尔不完全性定理标誌着逻辑科学现代发展的新阶段的开始。它与塔尔斯基的形式语言的真理论、图灵机和判定问题被称为现代逻辑科学在哲学方面的三大成果。哥德尔定理不仅对逻辑和数学基础方面研究有重大影响,对其他数学领域也将产生直接影响。