一般来说，设函式y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函式g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函式x= g(y)(y∈C)叫做函式y=f(x)(x∈A)的反函式，记作y=f^(-1)(x) 。反函式y=f ^(-1)(x)的定义域、值域分别是函式y=f(x)的值域、定义域。最具有代表性的反函式就是对数函式与指数函式。
一般地，如果x与y关于某种对应关係f（x）相对应，y=f（x），则y=f（x）的反函式为x=f (y)或者y=f﹣1（x）。存在反函式(默认为单值函式）的条件是原函式必须是一一对应的（不一定是整个数域内的）。注意：上标"−1"指的并不是幂。
基本介绍
- 中文名：反函式
- 外文名：Inverse Function
- 表达式：y=f ^(-1)(x)
- 特点：可逆性
- 适用领域：解析几何学、代数学
- 套用学科：数学
定义
设函式y=f(x)的定义域是D，值域是f(D)。如果对于值域f(D)中的每一个y，在D中有且只有一个x使得g(y)=x，则按此对应法则得到了一个定义在f(D)上的函式，并把该函式称为函式y=f(x)的反函式，记为
由该定义可以很快得出函式f的定义域D和值域f(D)恰好就是反函式f-1的值域和定义域，并且f-1的反函式就是f，也就是说，函式f和f-1互为反函式，即：
反函式与原函式的複合函式等于x，即：
习惯上我们用x来表示自变数，用y来表示因变数，于是函式y=f(x)的反函式通常写成
。
例如，函式
的反函式是
。
相对于反函式y=f-1(x)来说，原来的函式y=f(x)称为直接函式。反函式和直接函式的图像关于直线y=x对称。这是因为，如果设(a,b)是y=f(x)的图像上任意一点，即b=f(a)。根据反函式的定义，有a=f-1(b)，即点(b,a)在反函式y=f-1(x)的图像上。而点(a,b)和(b,a)关于直线y=x对称，由(a,b)的任意性可知f和f-1关于y=x对称。
于是我们可以知道，如果两个函式的图像关于y=x对称，那幺这两个函式互为反函式。这也可以看做是反函式的一个几何定义。
在微积分里，f (n)(x)是用来指f的n次微分的。
若一函式有反函式，此函式便称为可逆的（invertible）。
存在性
概述
一函式f若要是一明确的反函式，它必须是一双射函式，即：
- （单射）陪域上的每一元素都必须只被f映射到一次：不然其反函式将必须将元素映射到超过一个的值上去。
- （满射）陪域上的每一元素都必须被f映射到：不然将没有办法对某些元素定义f的反函式。
若f为一实变函式，则若f有一明确反函式，它必通过水平线测试，即一放在f图上的水平线
必对所有实数k，通过且只通过一次。
反函式存在定理
定理：严格单调函式必定有严格单调的反函式，并且二者单调性相同。
在证明这个定理之前先介绍函式的严格单调性。
设y=f(x)的定义域为D，值域为f(D)。如果对D中任意两点x1和x2，当x1<x2时，有y1<y2，则称y=f(x)在D上严格单调递增；当x1<x2时，有y1>y2，则称y=f(x)在D上严格单调递减。
证明：设f在D上严格单增，对任一y∈f(D)，有x∈D使f(x)=y。
而由于f的严格单增性，对D中任一x'<x，都有y'<y；任一x''>x，都有y''>y。总之能使f(x)=y的x只有一个，根据反函式的定义，f存在反函式f-1。
任取f(D)中的两点y1和y2，设y1<y2。而因为f存在反函式f-1，所以有x1=f-1(y1)，x2=f-1(y2)，且x1、x2∈D。
若此时x1≥x2，根据f的严格单增性，有y1≥y2，这和我们假设的y1<y2矛盾。
因此x1<x2，即当y1<y2时，有f-1(y1)<f-1(y2)。这就证明了反函式f-1也是严格单增的。
如果f在D上严格单减，证明类似。
性质
（1）函式存在反函式的充要条件是，函式的定义域与值域是一一映射；
函式及其反函式的图形关于直线y=x对称
函式及其反函式的图形关于直线y=x对称（2）一个函式与它的反函式在相应区间上单调性一致；
（3）大部分偶函式不存在反函式（当函式y=f(x)， 定义域是{0} 且 f(x)=C （其中C是常数），则函式f(x)是偶函式且有反函式，其反函式的定义域是{C}，值域为{0} ）。奇函式不一定存在反函式，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函式。若一个奇函式存在反函式，则它的反函式也是奇函式。
（4）一段连续的函式的单调性在对应区间内具有一致性；
（5）严增（减）的函式一定有严格增（减）的反函式；
（6）反函式是相互的且具有唯一性；
（7）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；
（8）反函式的导数关係：如果x=f(y)在开区间I上严格单调，可导，且f'(y)≠0，那幺它的反函式y=f-1(x)在区间S={x|x=f(y),y∈I }内也可导，且：
（9）y=x的反函式是它本身。
反函式的符号
反函式的符号记为f -1(x)，在中国的教材里，反三角函式记为arcsin、arccos等等，但是在欧美一些国家，sinx的反函式记为sin-1(x)。
x-1表示1/x，那幺f-1(x)与这是否有些关係呢？下面举几个例子来说明这点。当然，f-1(x)肯定和1/f(x)不等，但是确实有与之很相近的性质。
（1）反函式的反函式
为了好看以及对比，我有时会把f(x)写成f对比，我把我想各位应该很好理解，反函式的反函式当然就是原函式，写成数学语言就是(f-1)-1=f。看看，这是不是有点像指数的运算法则：1/x-1=x呢？
（2）反函式的导函式
如果函式x=f(y)在区间Iy内单调、可导且f '(y)不等于零，则它的反函式y=f-1(x)在区间
内也可导，且
或
。
用自然语言来说就是，反函式的导数，等于直接函式导数的倒数。这话有点绕，不过应该能读懂，这个似乎就进一步揭示了反函式符号的意义。
在这里要说明的是，y=f(x)的反函式应该是x=f-1(y)。只不过在通常的情况下，我们将x写作y，y写作x，以符合习惯。所以，虽然反函式和直接函式不互为倒数，但是各自导函式求出后，二者却是互为倒数。
（3）反函式的複合函式
这个内容属于高等数学的内容了。大伙想想函数里面最简单最基本的函式是什幺函式？不用说，肯定就是我们的恆等函式y=x，这就和我们数字里面的1一般地位，所以，我们记恆等函式为“1x”。
数字的基本运算就是加减乘除，而函式也有运算，虽然也有加减乘除，但是属于函式自己的，就是複合与反函式。我们知道在实数里，x与1/x的乘积等于1，在函式的複合运算里，也有类似的性质，函式f和g的複合记为f○g，那幺下面的性质成立：f-1○f=1x；1x○f=f○1x=f。
这第一个式子已经说明很多问题。实际上，这些都是属于高等代数的内容，在每一个封闭的系统里，都有一个“单位1”，都有自己的运算法则，函数里的就是1x，实数里的就是数字1等等。要深刻理解这些，也只有大家接触群论以后才会深入理解。这里也只是做点皮毛而已。我将在后面另起一文，介绍函式的“幂”的概念，就如同数的幂一样。
说明
（1）在函式x=f -1(y)中，y是自变数，x是函式，但习惯上，我们一般用x表示自变数，用y 表示函式，为此我们常常对调函式x=f -1(y)中的字母x,y，把它改写成y=f -1(x)，今后凡无特别说明，函式y=f(x)的反函式都採用这种经过改写的形式。
⑵反函式也是函式，因为它符合函式的定义. 从反函式的定义可知，对于任意一个函式y=f(x)来说，不一定有反函式，若函式y=f(x)有反函式y=f -1(x)，那幺函式y=f -1(x)的反函式就是y=f(x)，这就是说，函式y=f(x)与y=f -1(x)互为反函式。
⑶互为反函式的两个函式在各自定义域内有相同的单调性。单调函式一定有反函式，如二次函式在R内不是反函式，但在其单调增（减）的定义域内，可以求反函式；另外，反比例函式等函式不单调，也可求反函式。
⑷ 从映射的定义可知，函式y=f(x)是定义域A到值域C的映射，而它的反函式y=f -1(x)是集合C到集合A的映射，因此，函式y=f(x)的定义域正好是它的反函式y=f -1(x)的值域；函式y=f(x)的值域正好是它的反函式y=f -1(x)的定义域（如下表）：
函式：y=f(x)；
反函式：y=f -1(x)；
定义域： A，C；
值域： C，A；
⑷上述定义用“逆”映射概念可叙述为：
若确定函式y=f(x)的映射f是函式的定义域到值域上的“一一映射”，那幺由f的“逆”映射f -1所确定的函式y=f -1(x)就叫做函式y=f(x)的反函式. 反函式y=f -1(x)的定义域、值域分别对应原函式y=f(x)的值域、定义域.。开始的两个例子：s=vt记为f(t)=vt,则它的反函式就可以写为f -1(s)=s/v，同样y=2x+6记为f(x)=2x+6，则它的反函式为：f -1(x)=x/2-3.
有时是反函式需要进行分类讨论，如：f(x)=x+1/x，需将x进行分类讨论：在x大于0时的情况，x小于0的情况，多是要注意的。
一般分数函式y=(ax+b)/(cx+d)（其中ad≠bc）的反函式可以表示为y=(b-dx)/(cx-a)，这可以通过简单的四则运算来证明。
