定义1（拓扑线性空间）设X为实数域或複数域K上的线性空间，*是X上的拓扑，如果

（1）加法是 的连续映射；

（2）数乘是 的连续映射；

则称 是X上的向量拓扑，称（X，*）为拓扑线性空间。

在分析中起重要作用的是由一组满足分离公理的半範数来定义的局部凸拓扑线性空间。

定义2（半範数）设p是定义于线性空间X上的非负实值函式，满足：

（1）

（2）

则称p是X上的一个半範数，X称为赋半范线性空间。

注：半範数与範数的不同之处在于，由p(x)=0不能推出x=0.（使半範数值为0的元素不一定是0元素）。

均衡、吸收、凸子集

X上的半範数与X上的均衡、吸收、凸子集有着自然的联繫。

定义3 对线性空间X中的非空子集S，

（1）称S为凸的，指对任何 ，必有

（2）称S为均衡的，指对任何 ，必有

（3）称S为吸收的，指对任何 ，必存在 ，使得

注：由定义可见，任何均衡集和吸收集均包含0。

定理1 设p是线性空间X的一个半範数，c>0，集合 ，则S是X中的凸的均衡吸收子集。

证明：根据上述定义2（半範数的定义）可知，

i）对 ，有 ，故

即S为凸的；

ii）对 ，有 ，故 即S为均衡的；

iii）对 ， 时显然存在 ，使得 . 时取 （其中 为足够 小的正数），故 ，即S为均衡的；

综上所述，证得S是X中的凸的均衡吸收子集。

Minkowski泛函

定义4 设S为线性空间X中的吸收凸子集，称X上的泛函

为S的Minkowski泛函。

定理2 设S是线性空间X中的吸收凸子集，则S的Minkowski泛函满足：

如果S还是均衡的，则p是X上的半範数。

证明：由Minkowski泛函的定义，对 ，均有

因而由S的凸性可得 即 由Minkowski泛函的定义，得 由 的任意性，得

对 是显然的。

当S均衡时，对任意的 ，若 ，由S的均衡性即得

从而， 由Minkowski泛函的定义，

同样，又可得 ，因此

证毕。

设 是X上的一族半範数， 记

又对 ，U是X的一个子集，记

线上性拓扑空间中，由于加法的连续性，当U为0的邻域时， 是x的邻域。

定理3 设 是X上的一族半範数，满足分离性，即对任何 ，存在 ，使得 ，则

（1）对 及 是X中的均衡吸收凸子集；

（2）由一切形如

的集合生成的拓扑为Hausdorff空间（若拓扑空间中任意两个不同的点有互不相交的邻域，则称该拓扑空间满足 分离公理，也称该拓扑空间为Hausdorff空间），以

为x的邻域基；

（3）按上述拓扑，X为拓扑线性空间；

（4）每个半範数 均是连续的。

证明：（1）因为而任何有限个均衡吸收凸子集的交仍是均衡吸收凸子集，再利用定理1即可证。

（2）关于生成拓扑的邻域基的结论是显然的，这里只证明Hausdorff分离性。由于点x处的邻域基可由0点处的邻域基平移得到，所以，只需对 和 ，证明 必包含于互不相交的邻域中即可。

由半範数的族的分离性，可取 ，使 由拓扑的定义， 是 的邻域， 是 的邻域，今证 . 若不然，上式左端的交集中任取y，则必有 ，使 ，于是

矛盾。

（3）由（2）中所给邻域基的形式可知，对0的任一邻域U，总存在0的邻域V，使得U包含集合

再利用 得当 时，

所以，加法运算 在 是连续的。

设有数 和 对任意的一组 和 ，取

当

有

即

由此可知，数乘运算 在 是连续的。由此可知，按上述拓扑，X是拓扑线性空间。

（4）由 得当 时，

即 在任何点 处连续。证毕。

定义5（局部凸空间）如果拓扑线性空间满足 分离公理（若拓扑空间中任意两个不同的点有互不相交的邻域，则称该拓扑空间满足 分离公理），而且X中任何包含0 的开集都包含一个均衡吸收的凸开集，则称X为局部凸的拓扑线性空间，简称为局部凸空间。

由上述定理2和定理3可以得到如下结论。

定理4 X是局部凸空间的充要条件是它由一族满足分离性的半範数族按定理3所述的方式拓扑化而得的拓扑线性空间。（实际上，这个半範数族即是由X的诸均衡吸收凸开集的Minkowski泛函组成。）