谱表示定理是平稳随机过程相关函式的频域表达。若u(t)和y(t)是脉冲回响为h(t)、传递函式为H(s)的一个线性系统的输入和输出，则自相关函式和谱密度有以下关係：

其中*表示卷积，Φ_yu，Φ_y，Φ_u为谱密度，则有如下的谱分解定理：若对几乎每个s，|Φ_y(s)|≠0，则Φ_y(s)可惟一地分解成：

这里H(s)是一个正的实有理传递函式，其所有的极点均在左半开複平面；

H(s)所有的极点均在左半开複平面或在jω轴上；Ω=Ω>0是实矩阵。若对所有满足Re(s)=0的s还有|Φ_y(s)|≠0，则H(s)的所有极点均在左半开複平面。根据(4)和谱分解定理，当输入是谱密度为Ω的白噪声时，过程y(t)可看成是稳定系统H(s)的输出，这就是谱表示定理。谱密度、谱分解定理等可用于线性随机系统。

统计特性在不同时刻平稳不变的一类随机过程。数学上严格的平稳性概念是：一随机过程，如两组时刻状态变数X(t₁)，X(t₂)，…，X(t_n)和X(t+t₁)，X(t+t₂)，…，X(t+t_n)的联合机率密度函式f(x(t₁)，x(t₂)，…，x(t_n))与f(x(t+t₁)，x(t+t₂)，…，x(t+t_n))是完全相同的(对所有的t和n)，称为平稳随机过程。一般只要求随机变数的均值和方差的平稳性，而不要求密度函式完全相等，对均值和方差保持平稳的过程，称为弱平稳随机过程或广义平稳随机过程。对水文现象，当在一定时期内，气候条件没有明显改变，流域状况和人类活动基本稳定，就认为河川年径流量和年最大洪峰流量等水文变数的变化属于平稳随机过程，不同时段观测序列求得的各种统计特徵基本上是一致的。

相关函式包括自相关函式和互相关函式。其中，自相关函式是描述一个函式对于延迟一个时间的同一个函式的依赖关係。

二阶矩过程的重要数量特徵。设{X(t)，t∈T}是一个二阶矩过程，定义在T×T上的二元函式R(s，t)=E(X(s)·)称为该过程的相关函式。

相关函式具有如下性质：

1.R(t，t)≥0，对所有t∈T.

2.对称性.R(s，t)= ，对所有s，t∈T.

3.非负定性.对任意正整数n，t₁，t₂，…，t_n∈T及任意複数λ₁，λ₂，…，λ_n，有：

谱密度是指当信号的频频宽度趋近于零时，每单位频宽的均方根值。单位是μPa 。应当注意，谱密度只适用于具有连续谱的信号，信号的种类必须指明，例如声压、质点速度、质点加速度等。

在套用数学和物理学中，谱密度、功率谱密度和能量谱密度是一个用于信号的通用概念，它表示每赫兹的功率、每赫兹的能量这样的物理量纲。

在物理学中，信号通常是波的形式，例如电磁波、随机振动或者声波。当波的频谱密度乘以一个适当的係数后将得到每单位频率波携带的功率，这被称为信号的功率谱密度（power spectral density, PSD）或者谱功率分布（spectral power distribution, SPD）。功率谱密度的单位通常用每赫兹的瓦特数（W/Hz）表示，或者使用波长而不是频率，即每纳米的瓦特数（W/nm）来表示。

儘管并非一定要为信号或者它的变数赋予一定的物理量纲，下面的讨论中假设信号在时域内变化。