上穿不等式(upcrossing inequality)是鞅论的一个重要不等式。设{X(n)，n≥0}是离散下鞅。对于任意区间[a，b]，令表示序列{X(0)，X(1)，…，X(M)}上穿区间[a，b](即序列的元素取值从≤a到≥b)的次数，则对任意正整数M有：

对于连续时间参数情形，设{X(t)，t∈R₊}是下鞅，D是R₊的任一可数子集，则对任意满足r<s的r，s∈R₊和任意实数λ>0有：

这里(任意J⊂R₊)定义为当H取遍J的所有有限子集时的上确界：

当下鞅{X(t)，t∈R₊}右连续时，上式可进一步写为：

鞅论是由杜布提出的一门数学理论。杜布是美国数学家·1910年10月27日生于辛辛那提·2004年6月7日卒于伊利诺伊。

杜布毕业于哈佛大学，1932年获博士学位·他是美国国家科学院和美国科学艺术研究院院士·伊利诺伊大学教授。

杜布的主要贡献是机率论.他深入研究了随机过程理论，得出了任意的随机过程都具有可分修正，建立了随机函式理论的公理结构。他是鞅论的奠基人，虽然莱维等人早在1935年发表了一些孕育着鞅论的工作，1939年维尔引进“鞅”(martingale)这个名称，但对鞅进行系统研究并使之成为随机过程论的一个重要分支的，则应归功于杜布.他还引进了半鞅的概念.在鞅论中有以他的姓氏命名的着名的杜布停止定理、杜布──迈耶上鞅分解定理等.鞅论使随机过程的研究进一步抽象化，不仅丰富了机率论的内容，而且为其它数学分支如调和分析、複变函数、位势理论等提供了有力的工具。

对马尔可夫过程，杜布关于轨道的严密处理进行了系统的研究。他对代数函式中的聚值集的理论也作出了贡献。他还对霍普夫的个体遍历定理的特殊情形给出了证明。在数学中以他的姓氏命名的还有：杜布定理、杜布不等式、杜布收敛性等等。

杜布的着作有《随机过程》(1953年)等。

下鞅是鞅的一种推广。设{X(t)，t∈R₊}为定义在机率空间(Ω，F，P)上关于上升σ代数族{F_t}_t∈R+适应的随机过程.称{X(t)，t∈R₊}为{F_t}下鞅，如果下列两条件成立：

1.对每一t∈R₊，X(t)可积.

2.对任意t>s≥0，E[X(t)|F_s]≥X(s) a.s.P.由条件2立即推出E[X(t)]≥E[X(s)].若{X(t)，t∈R₊}是{F_t}上鞅，则由Y(t)=-X(t)定义的过程{Y(t)，t∈R₊}是{F_t}下鞅；反之亦然。因此在许多问题的研究中只须就上鞅(或下鞅)的情形讨论。