多元函式的重积分理论与一元函式的定积分理论是平行的，最主要的差别在于重积分的积分区域与定积分的积分区间相比更为複杂，函式的自变数也增多了，从而使得重积分理论与计算方法变得更丰富些，并且换元法是计算三重积分的一种常用方法。
基本介绍
- 中文名：三重积分换元法
- 外文名：triple integral substitution
- 学科：数学
- 领域範围：数学分析
- 属性：重积分
重积分的定义
设函式
在可求体积的有界闭区域
上有定义，
为D的一个分割。在每个
上任取一点
，作黎曼和
。如果存在常数
，使得对于
，
，对D的任何分割
以及任意选取的
，当
时，有
其中，f称为被积函式，D称为积分区域，
为
的体积，
称为积分变数，
称为体积元素。
在上述定义在中，特别地，当n=2时，我们常常记被积函式为f(x,y) ，此时，f(x,y)在D上的二重积分记为
三重积分换元法
类似二重积分，对于三重积分也有下面的换元法。
定理1
设三元函式
在有界闭体V上连续，又设函式组
（1）函式组（1）将uvw空间中的体V'一对一地变换到xyz空间中的体V；
（2）函式
所有一阶偏导数在V'上连续；
（3）
，有
注 定理的条件保证了变换（1）将V'的内部变换成V中的内部，将V'的边界变换成V的边界。我们知道了V的边界，也就知道了V'的边界，反之亦然。
在三重积分中有两个常用的变换。
柱面坐标变换
任取xyz空间中的一点
。设点 在xy平面上的投影为点
，连线O，P两点，得到向量
，
，则有
，
称为点 的柱面坐标，于是我们得到柱面坐标变换：
当围成体V的曲面的函式或被积函式含有“
”或“
”时，可考虑套用柱面坐标变换。
可按下列步骤把
化成累次积分：
（1）在xyz空间中画出V的草图；
（2）把V朝xy平面投影，得到V在xy平面的投影区域D；
（3）把D用极坐标表示出来：
（4）用
代入到V的上、下两个曲面方程
中得到：
（5）用联立不等式表示V‘：
（6）定限
球面坐标变换
任取xyz中的一点 ，令
，有
，
；令
为
与z轴的正向夹角，则
。设点M在xy平面的投影为点 ，得 ，
；令
为 与x轴的正向夹角，则
。于是
球面坐标变换（2）并不是一对一的，并且当
或
时，
。若
在有界闭体V上连续，则有下面的公式成立：
在球面坐标中，
设V'是V在球面坐标变换（2）所对应的空间中的立体。把
（1）画出V的草图；
（2）把立体V投影到xyz平面上，得到投影区域D，看
的变化範围：
；
（3）在
中任意取定一个
，得到半平面，从半平面与V表面的截线看
的变化範围：
（4）取定以上的与，得到位于V中的半平面与锥面的交线段，从交线段看r的变化範围：
球面坐标变换一般用在积分区域为球体或圆锥体或被积函式含有因子
的三重积分的计算中。
