设

为空间区域 上的向量函式。对 上每一点 ，定义向量函式

称它为向量函式 在 处的旋度，记作

注记 rot是rotation（旋度）一词的缩写，有的书也用curl表示旋度，为便于记忆， 可形式地写成

设 是曲线 的正向上的单位切线向量 的方向余弦，向量 称为弧长元素向量。于是斯托克斯公式可写成如下向量形式：

为了说明旋度与坐标系的选取无关，我们在场 中任意选取一点 ，

通过 作平面 垂直于曲面 的法向量 （如右图），且在 上围绕 作任一封闭曲线 ，记 所围区域为 ，则由（1）式有

对左端曲面积分套用中值定理可得

其中， 为区域 的面积， 为 中的某一点。因此

现让 收缩到点 （记作 ）时，于是 趋于 ，因此有

（3）式左边为 在法线方向上的投影，因此它也确定了 的本身，所以（3）也可以作为旋度的另一种定义形式。由于（3）式右边极限与坐标系的选取无关，故 也与坐标系的选取无关。

由向量函式 的旋度 所定义的向量场，称为旋度场。

在流量问题中，我们称

为沿闭曲线 的环流量，它表示流速为 的不可压缩流体在单位时间内沿曲线 的流体总量，反映了流体沿 时的旋转强弱程度。当 时，沿任意封闭曲线的环流量为零，即流体流动时不成旋涡，这时称向量场 为无旋场。

公式（2）表明向量场在曲面边界线上的切线投影对弧长的曲线积分等于向量场的旋度的法线投影在曲面上对面积的曲面积分。它的物理意义可以说成是：流体的速度场的旋度的法线投影在曲面上对面积的曲面积分等于流体的曲面边界上的环流量。

为了更好地认识旋度的物理意义以及这一名称的来源，我们讨论刚体绕定轴旋转的问题。设一刚体以角速度 绕某轴旋转，则角速度向量 方向沿着旋转轴，其指向与旋转方向的关係符合右手法则，即右手拇指指向角速度 的方向，其他四指指向旋转方向。若取定旋转轴上一点 作为原点（如右图），刚体上任意一点 的线速度可表示为

其中 是 的径向量。设 的坐标为 ，便有 ，又设 。于是

所以

或

这等式表明线速度向量 的旋度除去一个常数因子 外，就是旋度的角速度向量 。可见 的旋度与 称正比，这也说明了旋度这个名称的来源。

套用算符 表示 的旋度是

不难证明旋度具有下列一些性质：

1、 若是向量函式，则

2、 若是数量函式，是向量函式，则

3、若是数量函式，是向量函式，则