设函式 定义在点 的某邻域 上，当给 一个增量 ， 时，相应地得到函式的增量为

如果存在常数A，使得 能表示成

则称函式f在点 可微，并称（1）式中的第一项 为f在点 的微分，记作

由定义可见，函式的微分与增量仅相差一个关于 的高阶无穷小量，由于 是 的线性函式，所以当 时，也说微分 是增量 的线性主部。

容易看出，函式f在点 可导和可微是等价的。

函式f在点 可微的充要条件是函式f在点 可导，而且（1）式中的A等于 。

设函式 在点 的某领域 上有定义，对于 中的点 ，若函式f在点 处的全增量 可表示为

其中A,B是仅与点 有关的常数， ， 是较 高阶的无穷小量，则称函式f在点 可微。并称（2）式中关于 的线性函式 为函式 f在点 的全微分，记作

由（2）（3）可见 是 的线性主部，特别当 充分小时，全微分 可作为全增量 的近似值，即

若二元函式f在其定义域内一点 可微，则f在该点关于每个自变数的偏导数都存在，且（2）式中的

因此，函式f在点 的全微分（3）可惟一地表示为

若函式f在区域D上的每一点 都可微，则称函式f在区域D上可微，且在D上全微分为

我们知道，一元函式可微与存在导数是等价的。而对于多元函式，偏导数即使都存在，该函式也不一定可微。那幺不禁要问：当所有偏导数都存在时，还需要添加哪些条件，才能保证函式可微呢？

若函式 的偏导数在点 的某领域上存在，且 与 在点 连续，则函式f在点 可微。

注意 偏导数连续并不是函式可微的必要条件，如函式

在原点 可微，但 与 却在点 不连续。若 在点 的偏导数 连续，则称f在点 连续可微。

类似地可定义n元函式 在点 可微的概念。

设函式 在点 的某领域 上有定义，任给 的改变数 ，使 ，其中 。若函式 在点 的全改变数

可表示为

其中 是仅与点 有关，而与 无关的常数，则称函式 在点 可微，并称 为函式 在点 的全微分，表示为 ，即

函式在点可微的充分必要条件是：

其中，，，是仅与有关，而与无关的常数。