在数学中，特别是实分析，利普希茨连续（Lipschitz continuity）以德国数学家鲁道夫·利普希茨命名，是一个比通常连续更强的光滑性条件。直觉上，利普希茨连续函式限制了函式改变的速度，符合利普希茨条件的函式的斜率，必小于一个称为利普希茨常数的实数（该常数依函式而定）。
在微分方程中，利普希茨连续是皮卡-林德洛夫定理中确保了初值问题存在唯一解的核心条件。一种特殊的利普希茨连续，称为压缩套用于巴拿赫不动点定理。
利普希茨连续可以定义在度量空间上以及赋范向量空间上；利普希茨连续的一种推广称为赫尔德连续。
基本介绍
- 中文名：利普希茨连续
- 外文名：Lipschitz continuity
- 提出人：鲁道夫·利普希茨
- 套用範围：实分析、微积分
定义
对于在实数集的子集的函式
，若存在常数K，使得
，则称 f 符合利普希茨条件，对于f 最小的常数K 称为 f 的利普希茨常数。
若K < 1，f 称为收缩映射。
利普希茨条件也可对任意度量空间的函式定义：
给定两个度量空间
。若对于函式
，存在常数K 使得
则说它符合利普希茨条件。
若存在K ≥ 1使得
则称 f 为双李普希茨(bi-Lipschitz)的。
定理
(此定理又称柯西-利普希茨定理）若已知y(t)有界，f 符合利普希茨条件，则微分方程初值问题
刚好有一个解。
在套用上，t通常属于一有界闭区间（如
）。于是y(t)必有界，故y有唯一解。
例子
定义在所有实数值的
符合利普希茨条件，K=1。
若且唯若处处可微函式f的一次导函式有界，f符利普希茨条件。这是中值定理的结果。所有C1函式都是局部利普希茨的，因为局部紧緻空间的连续函式必定有界。
性质
符合利普希茨条件的函式一致连续，也连续。
bi-Lipschitz函式是单射的。
Rademacher定理：若
且A为开集，
符利普希茨条件，则f几乎处处可微。
Kirszbraun定理：给定两个希尔伯特空间
符合利普希茨条件，则存在符合利普希茨条件的
，使得F的利普希茨常数和f的相同，且 
。
