设是可测函式，对任何，都存在紧緻集E，使得，而且f限制到E上是连续函式。此处是勒贝格测度。

因为f可测，所以在一个测度任意小的开集以外，f是有界函式。在开集上重定义f为0，那幺f在[a,b]上有界，因而是可积函式。因为连续函式在可积函式的空间中稠密，存在连续函式序列依L範数收敛至f，即。故此有子序列几乎处处收敛至f。从叶戈罗夫定理可知，除了一个测度任意小的开集外，一致收敛至f。因为连续函式的一致收敛极限仍是连续的，故此f在此开集外连续。取E为以上两个开集的并集在[a,b]中的补集，那幺原本的f在E上连续。

设是上的正则博雷尔测度，是可测函式。X是中的可测集，而且，那幺对任意，X中存在紧緻集K，使得，而且f限制到K上是连续函式。

实分析或实数分析是处理实数及实函式的数学分析。专门实数函式及数列的解析特性，包括实数数列的极限，实函式的微分及积分、连续性，光滑性以及其他相关性质。

实分析常以基础集合论，函式概念定义等等开始。

可测函式是可测空间之间的保持（可测集合）结构的函式，也是勒贝格积分或实分析中主要讨论的函式。数学分析中的不可测函式一般视为病态的。

如果Σ是集合X上的σ代数，Τ是Y上的σ代数，则函式f:X→Y是Σ/Τ可测的，如果Τ内的所有集合的原像都在Σ内。

根据惯例，如果Y是某个拓扑空间，例如实数空间R，或複数空间C，则我们通常使用Y上的开集所生成的波莱尔σ代数，除非另外说明。在这种情况下，可测空间(X,Σ)又称为波莱尔空间。

如果从上下文很清楚Τ和Σ是什幺，则函式f可以称为Σ可测的，或乾脆称为可测的。