要学好数学分析, 做一定量的练习题是十分必要的 .
本书的习题分为三部分 . 第一部分是为配合教学工作 , 严格按教学进度编写的 . 第二部分是多样性的题目, 主要目的是补充第一部分的内容, 同时也想满足不同层次的读者在多个阶段对学习数学分析的要求. 第三部分是套用前两册书中得到的换序公式和準则, 探讨一些具体例子.
做练习题的目的, 一方面是为了及时熟悉刚学过的重要概念、定理的内容和定理的证明思想, 另一方面是为了对学过的理论进行巩固和提高 . 从这个意义上说 , 练习题做得越多越好.
但事物都有两面性 . 一个学生能支配的时间总是很有限的 , 并且在大学阶段总要同时学习多门课程. 因此, 本书从实际出发 , 把第一部分题目分为两类 : 一类是“基本题” , 这些都是“课后作业” , 学生务必“及时做 , 及时交”; 另一类是“提高题”, 在题号上方标有星号*,这些不作为课后作业 . 出于同样的考虑 , 本书把典型例题也分为“基本题”和“提高题”(在题号上方标有星号*).
为方便学生的学习 , 同时又考虑不能过多干涉学生的自主学习和思考 , 本书对第一部分的一些有难度的题目 , 给出了答案或提示 . 为方便各类读者 , 对第二部分的题目 , 基本都有简要解答. 第三部分带有探讨性质, 适合于教师作为参考资料.
学完一段内容后 , 我们总要总结和概括 . 一般说来 , 学生有能力完成这项工作的一部分, 而另一部分是学生没有能力完成的 . 出于这样的考虑 , 本书对所有章节的内容 , 进行了总结和说明. 希望在这样的帮助下, 便于学生儘快熟悉微积分的基本理论 , 切实把数学分析学好.
对于错误和不足之处，欢迎提出宝贵意见.

作者
2014年元月于西北工业大学

第 1章数列极限 .1

1.1实数的性质两个重要不等式 1

1.2数集的确界 3

1.3数列的确界 5

1.4数列的极限 7

1.5极限运算的性质收敛数列的性质 10

1.6极限的存在性实数集的完备性 11

1.7极限运算和常见初等运算的关係 12

1.8无穷小数列与无穷大数列 14

1.9数 e及其相关极限 .15

1.10数列的上下极限 16

1.11不定型极限 Stolz法则.21

第 2章函式极限 .26

2.1函式及其相关概念 26

2.2函式的昀值确界振幅28

2.3函式极限的定义 30

2.4函式的左右极限 32

2.5函式在无穷远点的极限 32

2.6对极限定义的总结 33

2.7极限的性质收敛函式的性质 33

2.8极限的存在性 34

2.9极限运算和常见运算的关係求极限的变数替换法.37

2.10无穷小量与无穷大量 38

2.11不定型极限求极限的例子 .40

2.12函式的上下极限 41

2.13大 O 和小 o 44

第 3章函式的连续性 .46

3.1函式在一点的连续性 46

3.2函式在一点的左右连续性间断点的分类 .47

3.3连续函式及其运算 48

3.4闭区间上连续函式的性质 49

3.5一致连续性 51

第 4章微分与导数 .55

4.1微分和导数的概念 55

4.2单侧导数导函式56

4.3导数的几何与物理意义 57

4.4求导法则 59

4.5常用导数公式 60

4.6参变数求导法绝对值求导法对数求导法.64

4.7微分学基本定理 65

4.8高阶导数 67

4.9微分法则高阶微分 69

4.10 L’Hospital法则70

4.11 Taylor公式.73

第 5章导数的套用 .78

5.1两个函式的差是常数的条件 78

5.2函式的单调性 78

5.3函式的凹凸性 81

5.4函式的昀值 84

5.5函式的极值 86

5.6函式的作图 87

第 6章原函式与不定积分 .88

6.1原函式与不定积分的概念 88

6.2积分运算的线性性质逐项积分法 88

6.3第一类换元积分法——凑微分法 89

6.4第二类换元积分法——参变数积分法 90

6.5分部积分法 92

6.6有理函式的积分 93

6.7三角函式有理式的积分 95

6.8无理函式的积分举例 96

6.9说明和补充例子 97

第 7章定积分 .100

7.1定积分的概念微积分基本公式 100

7.2积分的性质 102

7.3函式的可积性可积函式的一些性质 103

7.4变限积分及其性质 106

7.5分部积分法换元积分法 109

7.6积分中值定理分部求和公式 112

7.7函式的特性与积分的计算 113

7.8积分不等式 117
补充材料 H.lder不等式和 Minkowski不等式.119

第 8章一元微积分的套用向量值函式的微积分 121

8.1曲线的长度弧长微分 121

8.2平面曲线的曲率曲率半径 122

8.3一元向量值函式的概念极限连续性.122

8.4一元向量值函式的微分和导向量 124

8.5一元向量值函式的积分 125

第 9章广义积分 .127

9.1广义积分的概念 127
补充材料广义积分的 H.lder不等式和 Minkowski不等式130

9.2广义积分的收敛性 130

9.3 Riemann引理 Riemann点135

9.4三个典型的广义积分 136

9.5有限和的积分估计有限积的阶估计 .137

第 10章数项级数无穷乘积 Euler求和公式.140

10.1 数项级数的概念和性质 140

10.2 正项级数的收敛性 146
补充材料正项收敛级数余项的积分估计 .152

10.3 一般项级数的收敛性 152
补充材料一般项收敛级数的余项估计 .155

10.4 绝对收敛级数与条件收敛级数的特殊性质 .156

10.5 无穷乘积 158

10.6 Euler求和公式 Stirling公式160
补充材料 1 关于 Kummer判别法162
补充材料 2 根值系列判别法162
补充材料 3 关于级数的两个不等式 163
补充材料 4 正项级数的部分和与级数收敛性的关係.164

第 11章常见点集的结构点列的极限 166

11.1平麵点集的结构二维空间.2 .166

11.2空间点集的结构 三维空间.3 .168

11.3 n维空间 .nn维空间点集的结构 .169

11.4点列的极限 170

11.5闭集套定理有限覆盖定理聚点原理.171

第 12章多元函式的极限和连续性 .173

12.1 多元函式的概念 173

12.2 多元函式的极限 174

12.3 偏极限累次极限换序的充分条件 176

12.4 累次极限的换序公式和换序準则 178

12.5 多元函式的连续性 179

12.6 多元向量值函式场的概念 181

12.7 向量值函式的极限连续曲面的参数方程 .182

12.8 向量值连续函式的性质 184

第 13章多元函式的偏导数微分.185

13.1 偏导数的概念 185

13.2 高阶偏导数 185

13.3 多元函式的微分 187

13.4複合函式的求导法则微分的形式不变性 .188

13.5 微分中值定理 Taylor公式.191

第 14章向量值函式的微分函式方程与隐函式 193

14.1 二元向量值函式的偏导向量微分 193

14.2 n元向量值函式的偏导向量微分 .195

14.3 开映射定理局部逆映射定理 198

14.4逆映射存在的充分条件 逆映射的性质 .199

14.5 函式方程及其解函式概述 202

14.6 隐函式的微分 203

14.7隐函式存在定理 207

第 15章多元函式微分学的一些套用 .210

15.1曲面的切平面和法向量 曲线的切线 .210

15.2方嚮导数与梯度 212

15.3多元函式的昀值 Fermat原理 极值213

15.4条件昀值 条件极值 Lagrange乘数法 214

第 16章函式列的收敛性 .219

16.1 函式列的极限概念 219

补充材料用多项式一致逼近连续函式 .222

16.2 一致收敛性的判定 224

16.3 极限函式的极限连续微分 226

16.4 极限与定积分的换序控制收敛定理 .227

16.5 极限与广义积分的换序单调收敛定理 .229

第 17章函式项级数的一般理论 Taylor级数 Fourier级数.232

17.1 函式项级数的概念及其收敛性 232

17.2 函式项级数的极限连续微分 236

17.3 函式项级数的积分 240

17.4 分式级数函式项无穷乘积 242

17.5 幂级数的一般性质 243

17.6 Taylor级数.246

17.7 Fourier级数 .249

补充材料正交系的完备性 Parseval等式.256

第 18章多元函式的偏极限与偏积分 .264

18.1 二元函式的偏极限 264

18.2 狭义偏积分 267

18.3 广义偏积分的收敛性 269

18.4 广义偏积分的极限和连续性 272

18.5 广义偏积分的微分 274

18.6 “有限区间 .无限区间”上累次积分的换序.275

18.7 “无限区间 .无限区间”上累次积分的换序.276

18.8 Beta函式 Gamma函式280

18.9 Γ()的有限展开式283

18.10 Fourier变换正余项变换 283

第 19章曲线积分 .286

19.1第一型曲线积分 286

19.2 第二型曲线积分 291

补充材料第二型曲线积分的分部积分法 .292

第 20章 二重积分 .296

20.1 二重积分的概念和性质 296

20.2 二重积分的计算 298

20.3平面区域面积的求法 300

20.4二重积分的变数替换 302

20.5 Green公式 .306

20.6 积分与路径无关的条件原函式问题 .307

20.7曲面的面积 308

第 21章曲面积分 .311

21.1 第一型曲面积分 311

21.2 第二型曲面积分的概念 313

21.3 第二型曲面积分的计算 314

21.4 Stokes公式空间曲线积分与路径无关的条件 .317

第 22章三重积分多重积分 .319

22.1 三重积分的概念 319

22.2 三重积分的计算 320

22.3 三重积分的变数替换 322

22.4 Gauss公式 .327

22.5 场论的基本概念 329

22.6 n重积分 .332

补充材料化重积分为累次积分的代数定限法333

22.7 广义重积分广义曲面积分 336

一些典型问题举例.342

部分练习题的答案与提示.368

参考文献.392