本书是变分法方面的专着，书中系统地介绍变分法的基本理论及其套用。编写本书的目的是希望为高等院校的研究生和高年级大学生提供一本学习变分法课程的教材或教学参考书，使他们能够熟悉变分法的基本概念和计算方法。

本书内容包括预备知识、固定边界的变分问题、可动边界的变分问题、泛函极值的充分条件、条件极值的变分问题、参数形式的变分问题、变分原理、变分问题的直接方法、力学中的变分原理及其套用以及含向量、张量和哈密顿运算元的泛函变分问题。其中许多内容是作者多年来的研究成果，特别是提出完全泛函的极值函式定理，统一了变分法中的各种欧拉方程，创立含向量、向量的模、任意阶张量和哈密顿运算元的泛函的变分理论，给出相应的欧拉方程组及自然边界条件，扩大了变分法的套用範围。

第1章预备知识1
1.1泰勒公式1
1.1.1一元函式的情形1
1.1.2多元函式的情形1
1.2含参变数的积分3
1.3场论基础5
1.3.1方嚮导数及梯度5
1.3.2向量场的通量和散度10
1.3.3高斯定理与格林公式12
1.3.4向量场的环量与旋度17
1.3.5斯托克斯定理22
1.3.6梯度、散度和旋度表示的统一高斯公式24
1.4直角坐标与极坐标的坐标变换25
1.5变分法基本引理27
1.6求和约定、克罗内克尔符号和排列符号31
1.7张量的基本概念35
1.7.1直角坐标旋转变换35
1.7.2笛卡儿二阶张量36
1.7.3笛卡儿张量的代数运算38
1.7.4张量的商定律39
1.7.5二阶张量的主轴、特徵值和不变数39
1.7.6笛卡儿张量的微分运算41
1.8常用不等式42
1.9名家介绍45
习题149
第2章固定边界的变分问题51
2.1古典变分问题举例51
2.2变分法的基本概念53
2.3最简泛函的变分与极值的必要条件59
2.4最简泛函的欧拉方程67
2.5欧拉方程的几种特殊类型及其积分74
2.6依赖于多个一元函式的变分问题83
2.7依赖于高阶导数的变分问题87
2.8依赖于多元函式的变分问题94
2.9完全泛函的变分问题102
2.10欧拉方程的不变性107
2.11名家介绍112
习题2116
第3章泛函极值的充分条件122
3.1极值曲线场122
3.2雅可比条件和雅可比方程123
3.3魏尔斯特拉斯函式与魏尔斯特拉斯条件127
3.4勒让德条件130
3.5泛函极值的充分条件131
3.5.1魏尔斯特拉斯充分条件131
3.5.2勒让德充分条件134
3.6泛函的高阶变分138
3.7名家介绍142
习题3143
第4章可动边界的变分问题145
4.1最简泛函的变分问题145
4.2含有多个函式的泛函的变分问题155
4.3含有高阶导数的泛函的变分问题163
4.3.1泛函含有一个未知函式二阶导数的情形163
4.3.2泛函含有一个未知函式多阶导数的情形166
4.3.3泛函含有多个未知函式多阶导数的情形170
4.4含有多元函式的泛函的变分问题174
4.5具有尖点的极值曲线179
4.6单侧变分问题184
4.7名家介绍191
习题4192
第5章条件极值的变分问题194
5.1完整约束的变分问题194
5.2微分约束的变分问题198
5.3等周问题201
5.4混合型泛函的极值问题210
5.4.1简单混合型泛函的极值问题210
5.4.2二维、三维和n维问题的欧拉方程215
5.5名家介绍219
习题5220
第6章参数形式的变分问题222
6.1曲线的参数形式及齐次条件222
6.2参数形式的等周问题和测地线224
6.3可动边界参数形式泛函的极值229
习题6232
第7章变分原理233
7.1集合与映射233
7.2集合与空间236
7.3标準正交系与傅立叶级数243
7.4运算元与泛函246
7.5泛函的导数252
7.6运算元方程的变分原理254
7.7与自共轭常微分方程边值问题等价的变分问题256
7.8与自共轭偏微分方程边值问题等价的变分问题260
7.9弗里德里希斯不等式和庞加莱不等式265
7.10名家介绍270
习题7273
第8章变分问题的直接方法276
8.1极小（极大）化序列276
8.2欧拉有限差分法278
8.3里茨法280
8.4坎托罗维奇法284
8.5伽辽金法285
8.6最小二乘法295
8.7运算元方程的特徵值和特徵函式296
8.8名家介绍305
习题8306
第9章力学中的变分原理及其套用309
9.1力学的基本概念309
9.1.1力学系统309
9.1.2约束及其分类310
9.1.3实位移与虚位移310
9.1.4应变与位移的关係311
9.1.5功与能312
9.2虚位移原理316
9.2.1质点系的虚位移原理316
9.2.2弹性体的广义虚位移原理317
9.2.3弹性体的虚位移原理319
9.3最小势能原理322
9.4余虚功原理325
9.5最小余能原理327
9.6哈密顿原理及其套用328
9.6.1质点系的哈密顿原理328
9.6.2弹性体的哈密顿原理338
9.7哈密顿正则方程347
9.8赫林格—赖斯纳广义变分原理351
9.9胡海昌—鹫津久一郎广义变分原理353
9.10莫培督—拉格朗日最小作用量原理355
9.11名家介绍358
习题9360
第10章含向量、张量和哈密顿运算元的泛函变分问题364
10.1张量内积运算的基本性质与含张量的泛函变分基本引理365
10.2含向量、向量的模和哈密顿运算元的泛函的欧拉方程369
10.3梯度型泛函的欧拉方程383
10.4散度型泛函的欧拉方程392
10.5旋度型泛函的欧拉方程404
10.6含并联式内积张量和哈密顿运算元的泛函变分问题415
10.6.1并联式内积张量的梯度、散度和旋度变分公式推导415
10.6.2含并联式内积张量和哈密顿运算元的泛函的欧拉方程及自然边界条件419
10.6.3含并联式内积张量和哈密顿运算元的泛函的算例421
10.6.4含并联式内积张量和哈密顿运算元串的泛函的欧拉方程427
10.6.5其他含并联式内积张量和哈密顿运算元的泛函的欧拉方程429
10.7含串联式内积张量和哈密顿运算元的泛函变分问题434
10.7.1串联式内积张量的梯度、散度和旋度变分公式推导434
10.7.2含串联式内积张量和哈密顿运算元的泛函的欧拉方程及自然边界条件437
10.7.3含串联式内积张量和哈密顿运算元串的泛函的欧拉方程441
10.7.4其他含串联式内积张量和哈密顿运算元的泛函的欧拉方程444
10.8结论448
10.9名家介绍449
习题10452
附录1习题全解457
第1章预备知识习题解457
第2章固定边界的变分问题习题解462
第3章泛函极值的充分条件习题解488
第4章可动边界的变分问题习题解499
第5章条件极值的变分问题习题解512
第6章参数形式的变分问题习题解526
第7章变分原理习题解531
第8章变分问题的直接方法习题解538
第9章力学中的变分原理及其套用习题解559
第10章含向量、张量和哈密顿运算元的泛函变分问题习题解573
附录2索引599
参考文献618