这套书总结了作者数十年来关于古典微积分的研究成果和教学经验,对现阶段微积分的教学内容和体系进行了卓有成效的探索和改革。

第一册一元微积分部分,基于传统的教学内容引申出“阶估计方法”,通过简捷途径介绍了Euler求和公式。

第二册多元微积分部分,比较系统地研究了分析运算的换序问题,介绍了Riemann积分的控制收敛定理。

第三册是典型问题与习题集，精选了适合现阶段教学要求并具有一定代表性的例题和习题.本套书可作为数学专业以及其他对数学要求较高的理工科专业的数学分析教材或参考书.

数学分析又叫古典微积分.
古典微积分是一种知识体系——是自然科学的基础, 是一种教学体系——是现代教育的组成部分, 是一种思想体系——是全面细緻地分析问题、处理问题的理论指导.
古典微积分有2500多年的历史 , 它的萌芽可以追溯到公元前 500年前后, 确立于17世纪. 但是, 作为一种理论体系 , 古典微积分还不能说是完善的 , 部分原因是分析运算的换序问题没有解决好, 长期以来依赖的一致收敛条件过强并且难以验证 . 这种状况的长期存在, 不仅在古典微积分内部造成运算的换序困难 , 而且在古典微积分的外部滋生了一种思潮——认为 Riemann积分应该由 Lebesgue积分取而代之.
本套书总结了作者数十年来关于古典微积分的研究成果和教学经验, 对现阶段微积分的教学内容和体系进行了探索和改革，希望做到以下两点：
第一, 在古典微积分的理论框架内 , 解决好分析运算的换序问题；
第二, 精炼古典微积分的体系和内容，使之更加适合现阶段的教学需要 .
具体来说，本书内容取材上有三个突出特点：
1. 全面套用上下极限理论 , 把上下确界作为古典微积分的灵魂 , 简化了古典. ..语言的繁琐表述和推导；
2. 把 Euler求和公式作为古典微积分的基本公式之一，导出 Fourier级数的基本理论；

3. 以前人的成果为基础，总结概括出简洁实用的“阶估计方法” .

微积分是一门基础课，对于需要掌握专业数学工具以便将来解决各种实际问题的理工科青年人来说十分重要，但学起来也确实有一定困难，需要掌握相当多的知识和方法，以“求真务实”、“学以致用”为座右铭才能学好学通 .
本书的出版得到了西北工业大学校领导、教务处、理学院和套用数学系负责同志的理解和支持，并且作为学校教学改革项目和规划教材获得了资助 . 清华大学出版社对本书的出版也起到了积极的作用. 对于这些帮助 , 作者表示由衷的感谢 !
作者出版本书的愿望是良好的 , 是向着符合科学和教育发展需要的方向不懈努力的 . 但是，一个人的知识和能力毕竟有限 , 所以, 本书难免出现这样那样的缺点甚至错误 , 衷心希望各位数学家、广大教师和学生批评指正.
作者
2013年 3月于西北工业大学

第 11章 常见点集的结构 点列的极限1

11.1平麵点集的结构 二维空间.2 .1

11.2空间点集的结构 三维空间.3 .6

11.3 n维空间 .nn维空间点集的结构 ...8

11.4点列的极限 11

11.5闭集套定理 有限覆盖定理 聚点原理.14

第 12章 多元函式的极限和连续性 .16

12.1多元函式的概念 16

12.2多元函式的极限 19

12.3偏极限累次极限换序的充分条件 23

12.4累次极限的换序公式和换序準则 25

12.5多元函式的连续性 29

12.6多元向量值函式 场的概念 31

12.7向量值函式的极限 连续 曲面的参数方程.35

12.8向量值连续函式的性质 39

第 13章 多元函式的偏导数 微分.41

13.1 偏导数的概念 41

13.2 高阶偏导数 43

13.3 多元函式的微分 46

13.4複合函式的求导法则微分的形式不变性 .49

13.5 微分中值定理 Taylor公式.54

第 14章向量值函式的微分函式方程与隐函式 ..58

14.1 二元向量值函式的偏导向量微分 58

14.2 n元向量值函式的偏导向量微分 .61

14.3开映射定理 局部逆映射定理 65

14.4逆映射存在的充分条件 逆映射的性质 .75

14.5 函式方程及其解函式概述隐函式的概念 .81

14.6 隐函式的微分 84

14.7 隐函式存在定理 89

第 15章多元函式微分学的一些套用 .94

15.1 曲面的切平面和法向量曲线的切线 .94

15.2 方嚮导数与梯度 98

15.3多元函式的最值 极值 Fermat原理..100

15.4 条件最值 条件极值 Lagrange乘数法 ..104

第 16章函式列的收敛性 ...111

16.1 函式列的极限概念 ..111

16.2 一致收敛性的判定 ..117

16.3 极限函式的极限连续微分 ..120

16.4 极限与定积分的换序控制收敛定理 ...123

16.5 极限与广义积分的换序单调收敛定理 ...126

16.6 控制收敛定理的证明 ..128

第 17章函式项级数的一般理论 Taylor级数 Fourier级数.131

17.1 函式项级数的概念及其收敛性 ..131

17.2 函式项级数的极限连续微分 ..135

17.3 函式项级数的积分 ..138

17.4 分式级数函式项无穷乘积 ..140

17.5 幂级数及其一般性质 ..143

17.6 Taylor级数...148

17.7 Fourier级数 .154

第 18章二元函式的偏极限与偏积分 ...168

18.1 二元函式的偏极限 ..168

18.2 狭义偏积分 ..171

18.3 广义偏积分的收敛性 ..176

18.4 广义偏积分的极限和连续性 ..180

18.5 广义偏积分的微分 ..183

18.6 “有限区间×无限区间”上累次积分的换序 .185

18.7 “无限区间×无限区间”上累次积分的换序 .187

18.8 Beta函式 Gamma函式190

18.9 () 的有限展开..195

18.10 Fourier变换正余弦变换 196

第 19章曲线积分 ...201

19.1 第一型曲线积分 ..201

19.2第二型曲线积分 ..206

第 20章 二重积分 ...211

20.1 二重积分的概念和性质 ..211

20.2 二重积分的计算 ..215

20.3平面区域面积的求法 ..220

20.4二重积分的变数替换 ..227

20.5 Green公式 ...230

20.6 积分与路径无关的条件原函式问题 ...234

20.7曲面的面积 ..237

第 21章曲面积分 ...246

21.1 第一型曲面积分 ..246

21.2 第二型曲面积分的概念 ..249

21.3 第二型曲面积分的计算 ..255

21.4 Stokes公式空间曲线积分与路径无关的条件 ...258

第 22章三重积分多重积分 ...262

22.1 三重积分的概念 ..262

22.2 直角坐标系下三重积分的计算 ..264

22.3 三重积分的变数替换 ..266

22.4 Gauss公式 ...271

22.5 场论的基本概念 ..274

22.6 n重积分 ...277

22.7 广义重积分广义曲面积分 ..280

参考文献.288