幂（汉语拼音：mì，注音：ㄇㄧˋ，音同“觅”），指乘方运算的结果。n^m指将n自乘m次（针对m为正整数的场合）。把n^m看作乘方的结果，叫做“n的m次幂”或“n的m次方”。

其中，n称为“底数”，m称为“指数”（写成上标）。当不能用上标时，例如在程式语言或电子邮件中，通常写成n^m或，也可视为超运算，记为n[3]m，亦可以用高德纳箭号表示法，写成n↑m，读作“n的m次方”。 当指数为1时，通常不写出来，因为运算出的值和底数的数值一样；指数为2时，可以读作“n的平方”；指数为3时，可以读作“n的立方”。

起始值1（乘法的单位元）乘上底数（n）自乘指数（m）这幺多次。这样定义了后，很易想到如何一般化指数0和负数的情况：除0外所有数的零次方都是1；指数是负数时就等于重複除以底数（或底数的倒数自乘指数这幺多次）。

0的0次方数学家没有给予正式的定义，部分领域中，如组合数学，常用的惯例是定义为1。也有人主张定义为1。

幂不符合结合律和交换律。

因为10的次方很易计算，只需在后加零即可，所以科学记数法藉助此简化记录数的方式；二的幂在计算机科学中很有用。

同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

同底数幂相除，底数不变，指数相减。

幂的乘方，底数不变，指数相乘。

同指数幂相乘，指数不变，底数相乘。

同指数幂相除，指数不变，底数相除。

虽然n^m在定义中指将n自乘m次，即n^m=n×n×n×…×n（共m个n），但对于这样定义的幂，即使底数可以取任意实数，指数也只能为正整数，因此我们有必要将指数的範围进行扩大。

当底数n≠0时，由于，根据幂的运算规则可知，。因此定义零指数幂如下：

即任何非0实数a的0次方都等于1。

定义中a≠0是式子成立的必要条件，或者说0的0次方没有意义。这是因为根据定义的推导，0作除数没有意义。

补充说明：

有了零指数幂的定义之后，现在来定义负指数幂。

当底数n≠0时，由于，根据幂的运算规则可知，。因此定义负指数幂如下：

简单来说，对非0实数a进行负指数次方运算，只要将底数变为它的倒数，指数去掉负号即可。

我们来考虑指数为分数的幂该如何定义。为了讨论简便，先考虑分子为1，而分母为正整数的情况。

设，其中n为正整数。两边同时作乘方运算，自乘n次，并根据幂的乘方的运算法则，我们可以得到以下关係式：

我们发现，x恰好就是a的n次方根（的其中一个）。根据根式的定义，，即：

再考虑分子不为1的情况。根据幂的乘方运算，

或

两种对的理解是等价的。

应当指出，当n为奇数时，底数a可以为任何实数。但当n为偶数时，由于负数开偶次方后将得到一个纯虚数，在纯虚数中，即，这就违背了两种理解的等价性，此时的a只能取非负数。

所以为了让任何分数指数幂都存在并且都等于，我们人为规定如下：

也就是说，分数指数幂要有意义，底数必须不小于0。这就是分数指数幂的定义。

上面已经定义了整数次幂、0指数幂、负指数幂以及分数指数幂，相当于将所有的有理数（不管是整数还是分数，或者正有理数还是负有理数还是0）次幂都进行了定义。

综合上面的定义，当指数x为有理数时，为了让a^x有意义，底数a必须满足a>0（因为分数指数幂规定a≥0，而0指数幂和负指数幂规定a≠0，取交集可知a>0）。那幺，在a>0的情况下，作指数函式y=a^x，并将函式图像画在直角坐标系中。我们会发现，无论a是否等于1，函式的图像总会被挖去无数个点。这些被挖去的点的来源就是当x取无理数时，a^x无法定义（从而无法找到点(x,a^x)）。一旦定义了无理数次幂之后，这些无法定义的点将被找到并填满y=a^x的图像上被挖去的部分，使指数函式的图像变成一条没有任何空隙的曲线。

首先必须明确，当a>0，x是有理数时，总有a^x>0。在这样的条件下，设有两个有理数指数幂a^m、aⁿ，其中a>0，m、n都是有理数并且m>n。现考虑a^m、aⁿ的大小关係。

①当a=1时，不难得到a^m=aⁿ=a；

②当a≠1时，作商。因m-n>0，根据正指数幂函式的递增性，若a>1，则a^m-n>1^m-n=1；若0<a<1，则a^m-n<1^m-n=1.

再根据不等式的性质，当a>1时，有a^m>aⁿ。当0<a<1时，有a^m<aⁿ。即对有理数指数幂函式y=a^x，当a>1时是增函式，当0<a<1时是减函式。

无理数简单来说就是无限不循环小数。对任何一个无理数x>0，我们可以这样操作：

第一步，取x的整数部分和小数点后一位，而把其余部分全部捨去；

第二步，取x的整数部分和小数点后二位，而把其余部分全部捨去；

……

第n步，取x的整数部分和小数点后n位，而把其余部分全部捨去；

……

这样我们就取得了一列有理数列{x_n}逐渐逼近它。例如，我们取一列有理数

显然这样取得的有理数列{x_n}是单调增加并且有上界的，它的极限就是无理数x。以a为底，x_n为指数作幂，得到一个新的数列。由有理数指数幂的大小比较规律可知，当a>1时，数列{}单调递增有上界；当0<a<1时，数列{}单调递减有下界（[x]表示不超过x的最大正数，在这里即是x的整数部分）。根据单调有界定理，{}收敛，我们便把这个数列的极限定义作a^x。

有了这个定义之后，指数函式y=a^x的定义域便扩充到了全体实数，而其图像也将变得完整（事实上指数函式的图像不仅是完整的，还是处处连续、处处可导的）。