我们知道，随机变数实际上是定义在机率空间上取值为实数的函式，因此我们可以像数学分析时论函式序列逐点收敛性那样去讨论随机变数序列在每个样本点处取值的收敛性。然而，由于随机变数取值的随机性，我们常常不可能期待随机变数序列在所有样本点处都存在极限，现在的问题是研究极限是否在一个机率为1的点集上存在。

设 和 是定义在机率空间 上的随机变数。

1. 如果存在 使得且对任意 有 则称 以机率1收敛(converges with probability one)或几乎必然收敛(converges almost surely)于 ，记作。

2. 如果存在 使得且对任意 数列 是柯西基本列，即 则称 以机率1是柯西基本列。

注: 以机率1收敛意味着最多除去一个零机率事件外， 逐点收敛于 ，根据柯西基本列一定存在极限的原则 以机率1收敛若且唯若 以机率1是柯西基本列。

下面给出以机率1收敛的判别準则。

设和是定义在机率空间上的随机变数

(1) 若且唯若对任意

或者等价地

(2) 以机率1是柯西基本列若且唯若对任意

或者等价地

(1)对任意令那幺

由连续性定理

于是下列关係式成立

(2) 对任意令那幺事件

{不是柯西基本列}=.

如果对任意则

证明：注意到

即可。