基本列(fundamental sequence)亦称柯西列，是极限存在的数列，也就是满足柯西条件的数列，即这样的{xn}：对任意正整数ε，存在正整数N，使当n，m>N时，有|xn-xm|<ε，反映在数轴上，表示当项的编号无限增加时，基本列中任意两项之间的距离将会任意地小，不难想像这种点列中的点最终将聚集在某个点的周围，即收敛于这个点，反之，如果一个点列收敛，编号无限增大的项之间的距离也将任意地小，这就是说：实数列收敛，若且唯若它是基本列，这个结论称为柯西準则。若一个基本列的所有各项都是有理数，则它为基本有理数列，但基本有理数列不一定收敛于有理数。例如，设en=1+∑nk=1(1/(k!))，则{en}∞n=1是基本有理数列，但它的极限e是无理数。康托尔(G.F.P.Cantor)注意到基本有理数列与基本实数列之间的这个差别，利用基本有理数列定义实数.康托尔的实数定义，是多种互相等价的实数定义中的一种，主要反映了实数的完备性。基本列的概念可以推广到Rn及一般的抽象空间，并用以使这些空间完备化。
基本介绍
- 中文名：基本列
- 外文名：fundamental sequence
- 别称：柯西列，Cauchy列
- 所属学科：数学（数学分析）
- 简介：极限存在的数列
基本概念
设{an}是一实数列，对任意给定的ε>0，若存在N∈N*，使得当m,n∈N*且m,n>N时，有
粗略地说，基本列的特徵是:只要数列中两个项充分地靠后，而不论它们的相对位置如何，它们之差的绝对值便可以小到事先任意给定的程度。
在定义中，显然只需考虑m>n的情形。我们可以令m=n+p，这样一来，基本列的定义可以等价地叙述为：对任意给定的ε>0，若存在N∈N*，使得当n>N时，
相关性质定理
下面中心的议题是要证明：一个数列是收敛数列的充分必要条件是，它是基本列。为此，我们需做一些预备工作。
引理1 从任一数列中必可取出一个单调子列。
证明 先引人一个定义：如果数列中的一项大于这个项之后的所有各项，则称这一项是一个“龙头”。分两种情况来讨论.
情况(a)如果在数列中存在着无穷多个“龙头”,那幺把这些可作“龙头”的项依次取下来，显然将得到一个严格递减的数列.
情况(b) 设在此数列中只有有限多个项可作“龙头”.这时取出最后一个“龙头”的下一项,记作
.由于不是“龙头”,在它的后边必有一项
(i2>i1)满足≤;因也不是“龙头”,在它的后边也必可找到一项
(i3>i2),使得≥.如此进行下去,就得到子列{
},它显然是一个递增的子列。
定理1(列紧性定理) 从任何有界的数列中必可选出一一个收敛的子列。
此定理也称作Bolzano(波尔查诺,1781~1848)- Weierstrass(魏尔斯特拉斯，1815~1897)定理。
证明 设{an}是一个有界的数列.根据引理1，从中可以取出一个单调子列{}，这个子列当然也是有界的。易知{}是一个收敛数列。
现在来证明本节的主要定理。
定理2 一个数列收敛的充分必要条件是，它是基本列。
证明 必要性。设{an}是一个收敛数列，其极限记作a。因此，对任意给定的ε>0，存在正整数N,当n>N时,有
充分性。设{an}是一个基本列，首先证明基本列必是有界的，对ε0=1而言,可以取出一个N∈N*,且当n>N时,有
根据定理1，从有界数列{an}中可选出一个收敛的子列{}，设→a (n→∞)。我们来证明这个a也是数列{an}的极限。由于{an}是基本列，对任给的ε>0,存在一个N1∈N*,使得当m，n>N1时，都有
又因
,对任给的ε>0,存在N2∈N*,当k>N2时，
现取N= max(N1,N2),当n>N时，有
定理2又称为数列的Cauchy收敛原理，是一个在理论上非常重要的定理，在数学分析的全部内容中，有着各式各样的表述，它告诉我们，当我们来判断一个数列是否收敛时，只需通过数列的自身，而无须求助于另外的数，还应指出的是，Bolzano- Weierstrass定理和Cauchy收敛原理是实数系统连续性的另外两种表现形式。
